BZOJ 1006 完美消除序列&最大势算法&弦图

　　K国是一个热衷三角形的国度,连人的交往也只喜欢三角原则.他们认为三角关系:即AB相互认识,BC相互认识,CA相互认识,是简洁高效的.为了巩固三角关系,K国禁止四边关系,五边关系等等的存在.所谓N边关系,是指N个人 A1A2...An之间仅存在N对认识关系:(A1A2)(A2A3)...(AnA1),而没有其它认识关系.比如四边关系指ABCD四个人 AB,BC,CD,DA相互认识,而AC,BD不认识.全民比赛时,为了防止做弊，规定任意一对相互认识的人不得在一队，国王想知道最少可以分多少支队。

子图:V'为V的子集 E'为E的子集

诱导子图:对于V' 只要在G中有边那么在G'中同样应该有边

最大独立集:最大的一个点的子集使任何两个点不相邻——最大独立集数

最大团:点数最多的团——团数

最小染色:用最少的颜色给点染色使相邻点颜色不同——色数

最小团覆盖:用最少个数的团覆盖所有的点——最小团覆盖数

结论: 团数<=色数最大独立集数<=最小团覆盖数

弦(Chord):连接环中不相邻的两个点的边

弦图:一个无向图称为弦图，当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦

弦图的每一个诱导子图一定是弦图

弦图的判断:

ZJU1015

给定一个无向图，判定它是否为弦图

单纯点:设N(v)为与点v相邻的点的点集一个点是单纯点当且仅当{v}+N(v)的诱导子图为一个团

引理:任何一个弦图都至少有一个单纯点不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点

完美消除序列:

一个点的序列(每个点出现且恰好出现一次)V1,V2....Vn满足Vi在{Vi,Vi+1,Vn}的诱导子图中为一个单纯点

定理:一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列

MCS算法O(n+m):

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <queue>

 #include <cstdlib>

 #define N 10000 + 10

 #define M 2000000 + 10

 using namespace std;

 struct edge

 {

     int to, next;

 }e[M];

 int n, m, num, ans, maxs;

 int p[N], seq[N], col[N], lab[N], flag[N];

 struct node

 {

     int now;

     node *next;

 }f[N];//链表

 void add(int x, int y)

 {

     e[++num].to = y;

     e[num].next = p[x];

     p[x] = num;

 }

 void put(int x)

 {

     node *po = (struct node *)malloc(sizeof(struct node));

     po->next = f[lab[x]].next;

     po->now = x;

     f[lab[x]].next = po;

 }//链表的插入

 void read(int &x)

 {

     x = ;

     char c = getchar();

     while(c < '' || c > '') c = getchar();

     while(c >= '' && c <= '')

     {

         x = (x << ) + (x << ) + c - '';

         c = getchar();

     }

 }

 void init()

 {

     int x, y;

     read(n), read(m);

     for (int i = ; i <= m; ++i)

     {

         read(x), read(y);

         if (x == y) continue;

         add(x, y);

         add(y, x);

     }

 }

 void create()

 {

     for (int i = ; i <= n; ++i)

     f[i].next = NULL;//

     for (int i = ; i <= n; ++i) put(i);

     maxs = ;//初始化

     for (int i = n; i; i--)//用逆序求

     {

         node *po = f[maxs].next;//找到当前最大

         while(flag[po->now])

         {

             f[maxs].next = po = po->next;//及时删除没有用的点（漏掉的话会超时）

             while(po == NULL)

             {

                 maxs--;

                 po = f[maxs].next;

             }

         }

         f[maxs].next = po->next;//更新

         while(f[maxs].next == NULL) maxs--;

         int x = po->now;

         flag[x] = , seq[i] = x;

         for (int j = p[x]; j; j = e[j].next)

         if (!flag[e[j].to])

         {

             ++lab[e[j].to];//加势

             if (lab[e[j].to] > maxs) maxs = lab[e[j].to];

             put(e[j].to);

         }

     }

 }

 void paint()

 {

     for (int i = ; i <= n; ++i)

     flag[i] = -;

     for (int i = n; i; i--)

     {

         int x = seq[i];

         for (int j = p[x]; j; j = e[j].next)

         flag[col[e[j].to]] = i;

         for (int j = ; j <= n; ++j)

         if (flag[j] != i)

         {

             col[x] = j;

             break;

         }

         if (ans < col[x]) ans = col[x];

     }

 }

 void deal()

 {

     create();

     paint();

     printf("%d\n", ans);

 }

 int main()

 {

     //freopen("kingdom.in", "r", stdin);

     //freopen("kingdom.out", "w", stdout);

     init();

     deal();

     return ;

 }

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巴特西

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