[NOIP2017普及组]跳房子

题目描述

跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画 nn 个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 RR 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的 dd 。小 RR 希望改进他的机器人，如果他花 gg 个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加 gg ，但是需要注意的是，每次弹跳的距离至少为 11 。具体而言，当 g<dg<d 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 d-g,d-g+1,d-g+2d−g,d−g+1,d−g+2 ，…， d+g-2d+g−2 ， d+g-1d+g−1 ， d+gd+g ；否则（当 g \geq dg≥d 时），他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 11 ， 22 ， 33 ，…， d+g-2d+g−2 ， d+g-1d+g−1 ， d+gd+g 。

现在小 RR 希望获得至少 kk 分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入输出格式

输入格式：

第一行三个正整数 nn ， dd ， kk ，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数。相邻两个数之间用一个空格隔开。

接下来 nn 行，每行两个正整数 x_i,s_ixi,si ，分别表示起点到第 ii 个格子的距离以及第 ii 个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证 x_ixi 按递增顺序输入。

输出格式：

共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少 kk 分，输出 -1−1 。

输入输出样例

输入样例#1：

7 4 10

2 6

5 -3

10 3

11 -3

13 1

17 6

20 2

输出样例#1：

输入样例#2：

7 4 20

2 6

5 -3

10 3

11 -3

13 1

17 6

20 2

输出样例#2：

-1

说明

【输入输出样例 1 说明】

花费 2 个金币改进后，小 R 的机器人依次选择的向右弹跳的距离分别为 2， 3， 5， 3， 4，3，先后到达的位置分别为 2， 5， 10， 13， 17， 20，对应 1, 2, 3, 5, 6, 7 这 6 个格子。这些格子中的数字之和 15 即为小 R 获得的分数。

输入输出样例 2 说明

由于样例中 7 个格子组合的最大可能数字之和只有 18 ，无论如何都无法获得 20 分

数据规模与约定

本题共 10 组测试数据，每组数据 10 分。

对于全部的数据满足 1 ≤ n ≤ 500000, 1 ≤ d ≤2000, 1 ≤ x_i, k ≤ 10^9, |si| < 10^51≤n≤500000,1≤d≤2000,1≤x_i,k≤109,∣si∣<105 。

对于第 1， 2 组测试数据， n ≤ 10；

对于第 3， 4， 5 组测试数据， n ≤ 500

对于第 6， 7， 8 组测试数据， d = 1

二分+dp+单调队列优化

二分应该很显然了，花的钱越多跳到范围越广，更容易满足条件。

于是我们二分花多少钱，检验能否拿到k分。

dp[i]表示跳到第i个格子的最高得分，转移方程也很好写

dp[i]=max(dp[j])+c[i] (mi<=x[i]-x[j]<=ma)

那么我们怎么用单调队列优化呢？

但是我们发现了一个问题，对于某个决策k，它可能不能更新i，但是它能更新j(j>i)。这样就不能直接用根据大小或者无法更新当前决策把k出队。

换句话说：不能像普通的单调队列优化一样仅凭这个决策的值小于令一个决策的值就将决策排除候选集合，因为我们的可行决策区间，是从\([i-(d+p),i-(d-p)]\)，一个决策的值很大，但是他不一定可以更新他的下一个格子，一些较劣决策仍然可能成为最优决策，这是我们最需要注意的。

所以我们需要在单调队列team1的基础上新建一个候选集合team2，对于一个状态i，我们要考虑将候选集合可以更新i的决策放入单调队列，然后再更新dp[i]。

还有一些初始值的细节需要注意一下。

具体见代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int read()

{

    int x=0,w=1;char ch=getchar();

    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();

    return x*w;

}

const int N=500010;

int n,d,k;

int x[N],a[N],team1[N],team2[N],dp[N];

bool check(int c)

{

    memset(dp,0,sizeof(dp));

    memset(team1,0,sizeof(team1));

    memset(team2,0,sizeof(team2));

    int mi=max(d-c,1),ma=d+c;

    int l1=1,r1=1,l2=1,r2=0;

    if(x[1]<mi) l1=2,r2=1;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        while(l1<=r1&&x[team1[l1]]+ma<x[i]) l1++;

        if(l1<=r1)

        {

            dp[i]=dp[team1[l1]]+a[i];if(dp[i]>=k)return 1;

            team2[++r2]=i;

        }

        while(l2<=r2&&x[i+1]-x[team2[l2]]>=mi)

        {

            while(l1<=r1&&dp[team1[r1]]<dp[team2[l2]])r1--;

            team1[++r1]=team2[l2];

            l2++;

        }

    }return 0;

}

int main()

{

    n=read();d=read();k=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),a[i]=read();

    int l=0,r=x[n]+1,mid;

    //cout<<"start check"<<endl;

    //cout<<check(3);

    while(l<r)

    {

        mid=(l+r)/2;

        if(check(mid)) r=mid;

        else l=mid+1;

        //cout<<l<<" "<<r<<endl;

    }

    if(l==x[n]+1)cout<<-1<<endl;

    else cout<<l<<endl;

}

巴特西

[NOIP2017普及组]跳房子（二分，单调队列优化dp）