蒙特卡罗方法 python 实现

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的精髓：用统计结果去计算频率，从而得到真实值的近似值。

一、求圆周率的近似值，采用投点法

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.patches import Circle

# 投点次数

n = 10000

# 圆的信息

r = 1.0         # 半径

a, b = (0., 0.) # 圆心

# 正方形区域边界

x_min, x_max = a-r, a+r

y_min, y_max = b-r, b+r

# 在正方形区域内随机投点

x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均匀分布

y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)

# 计算 点到圆心的距离

d = np.sqrt((x-a)**2 + (y-b)**2)

# 统计 落在圆内的点的数目

res = sum(np.where(d < r, 1, 0))

# 计算 pi 的近似值（Monte Carlo方法的精髓：用统计值去近似真实值）

pi = 4 * res / n

print('pi: ', pi)

# 画个图看看

fig = plt.figure()

axes = fig.add_subplot(111)

axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)

plt.axis('equal') # 防止图像变形

circle = Circle(xy=(a,b), radius=r, alpha=0.5)

axes.add_patch(circle)

plt.show()

效果图

二、求定积分（definite integral）的近似值，采用投点法

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

'''蒙特卡罗方法求函数 y=x^2 在[0,1]内的定积分（值）'''

def f(x):

    return x**2

# 投点次数

n = 10000

# 矩形区域边界

x_min, x_max = 0.0, 1.0

y_min, y_max = 0.0, 1.0     

# 在矩形区域内随机投点

x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均匀分布

y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)

# 统计 落在函数 y=x^2图像下方的点的数目

res = sum(np.where(y < f(x), 1, 0))

# 计算 定积分的近似值（Monte Carlo方法的精髓：用统计值去近似真实值）

integral = res / n

print('integral: ', integral)

# 画个图看看

fig = plt.figure()

axes = fig.add_subplot(111)

axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)

plt.axis('equal') # 防止图像变形

axes.plot(np.linspace(x_min, x_max, 10), f(np.linspace(x_min, x_max, 10)), 'b-') # 函数图像

#plt.xlim(x_min, x_max)

plt.show()

巴特西

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效果图

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