Multi-Nim游戏结论不变证明

Nim取石子游戏结论：

若n堆石子的异或和为0，则先手必胜；否则，先手必败

加入新规则：

每次取完石子后，可以将取的那一堆的石子分为多堆，也可以不分

结论：

同Nim取石子游戏结论

证明：

如果异或和不为0，那先手不用分某一堆石子，同Nim游戏

如果异或和为0，

不执行分裂操作则先手必败，同Nim游戏

若执行分裂操作，如果能够证明执行分裂操作的后继局面异或和依然不为0，那么结论成立

采用反证法，证明如果分裂后异或和为0 会产生矛盾

a1^a2^a3^……^an=0, a1=a2^a3^……^an

假设我们取的那一堆是第1堆，取完之后还有b1个，b1<a1

将b1分为x+y

若x^y^a2^a3^……^an=0

则 x^y=a2^a3^……^an

所以x^y = a1

又因为异或是不进位的加法，所以x^y<=b1<a1

产生矛盾

巴特西