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解数独。

分析

考虑如何把数独解合法的条件转化为经典的01精确覆盖：

每个格子只能填一个数，1-9
每一列刚好填了1-9
每一行刚好填了1-9
每个九宫格刚好填了1-9

也就是说，每个格子，列，行，九宫格都需要被一个数覆盖，且不能重复覆盖。

精确覆盖的一个很巧妙的，也很常用的建矩阵方法，是把条件拆开，把每一个填入也拆成对四种条件的贡献。

也就是说，我们建一个729*324的矩阵。所有的行表示在\((x,y)\)填入\(k\)，前81列表示每个格子被覆盖，后面的各81列分别表示每一列，一行，九宫格被覆盖，那么这就是一个精确覆盖问题了——每次填入一个数，可以对应地在四个规则中产生贡献。

如果已经给到有数了，那么就\((x,y)\)就只能填入规定的那个\(k\)，否则可以填1-9。

代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn=10*10*10;

const int maxm=10*10*5;

const int maxl=10*10;

const int maxp=maxn*maxm;

bool a[maxn][maxm];

char s[maxl];

int ans[10][10];

struct node {

	int l,r,u,d,row,col;

};

int id(int x,int y) {

	return (x-1)*9+y;

}

int hang(int x,int k) {

	return 81+(x-1)*9+k;

}

int lie(int y,int k) {

	return 162+(y-1)*9+k;

}

int bel(int x,int y) {

	return ((x-1)/3)*3+(y-1)/3+1;

}

int gong(int x,int y,int k) {

	return 243+(bel(x,y)-1)*9+k;

}

int choose(int x,int y,int k) {

	return (id(x,y)-1)*9+k;

}

void ANS(int row) {

	int k=(row-1)%9+1;

	row-=k;

	int d=row/9+1;

	int y=(d-1)%9+1;

	int x=(d-y)/9+1;

	ans[x][y]=k;

}

struct DLX {

	node p[maxp];

	int tot,last[maxm],size[maxm];

	void clear(int n) {

		tot=n;

		memset(p,0,sizeof p),memset(last,0,sizeof last),memset(size,0,sizeof size);

		p[0]=(node){n,1,0,0,0,0};

		for (int i=1;i<=n;++i) p[i]=(node){i-1,i+1,i,i,0,i},last[i]=i;

		p[n].r=0;

	}

	void build(int row,int c[],int len) {

		if (!len) return;

		p[++tot]=(node){tot,tot,last[c[1]],p[last[c[1]]].d,row,c[1]};

		p[p[tot].u].d=p[p[tot].d].u=last[c[1]]=tot;

		++size[p[tot].col];

		for (int i=2;i<=len;++i) {

			int x=c[i];

			p[++tot]=(node){tot-1,p[tot-1].r,last[x],p[last[x]].d,row,x};

			p[p[tot].l].r=p[p[tot].r].l=p[p[tot].d].u=p[p[tot].u].d=last[x]=tot;

			++size[p[tot].col];

		}

	}

	void del(int c) {

		p[p[c].l].r=p[c].r,p[p[c].r].l=p[c].l;

		for (int i=p[c].d;i!=c;i=p[i].d)

			for (int j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r)

				p[p[j].u].d=p[j].d,p[p[j].d].u=p[j].u,--size[p[j].col];

	}

	void back(int c) {

		p[p[c].l].r=p[p[c].r].l=c;

		for (int i=p[c].u;i!=c;i=p[i].u)

			for (int j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l)

				p[p[j].u].d=p[p[j].d].u=j,++size[p[j].col];

	}

	bool dance() {

		if (!p[0].r) return true;

		int first=p[0].r;

		for (int i=p[0].r;i;i=p[i].r) if (size[i]<size[first]) first=i;

		if (p[first].d==first) return false;

		del(first);

		for (int i=p[first].d;i!=first;i=p[i].d) {

			for (int j=p[i].r;j!=i;j=p[j].r) del(p[j].col);

			ANS(p[i].row);

			if (dance()) return true;

			for (int j=p[i].l;j!=i;j=p[j].l) back(p[j].col);

		}

		back(first);

		return false;

	}

} dlx;

int main() {

#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("test.in","r",stdin);

#endif

	while (~scanf("%s",s+1)) {

		dlx.clear(324);

		memset(a,0,sizeof a),memset(ans,0,sizeof ans);

		if (s[1]=='e') break;

		for (int i=1,k=0;i<=9;++i) for (int j=1;j<=9;++j) {

			int x=(s[++k]=='.'?0:s[k]-'0'),st=(x?x:1),ed=(x?x:9);

			ans[i][j]=x;

			for (int k=st;k<=ed;++k) {

				int cho=choose(i,j,k);

				a[cho][id(i,j)]=a[cho][hang(i,k)]=a[cho][lie(j,k)]=a[cho][gong(i,j,k)]=true;

			}

		}

		for (int i=1;i<=729;++i) {

			static int c[maxm];

			int tot=0;

			for (int j=1;j<=324;++j) if (a[i][j]) c[++tot]=j;

			dlx.build(i,c,tot);

		}

		dlx.dance();

		for (int i=1;i<=9;++i) for (int j=1;j<=9;++j) printf("%d",ans[i][j]);

		puts("");

	}

	return 0;

}

巴特西

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