z 变换

1. z 变换

单位脉冲响应为 $h[n]$ 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 $z^n$ 的响应 $y[n]$ 为

\[ \tag{1} y[n] = H(z) z^{n}\]

式中 $H(z)$ 是一个复常数，为

\[ \tag 2 H[z] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h[n]z^{-n}\]

若 $z=e^{j\omega}$，这里 $\omega$ 为实数（即，$|z|=1$），则（2）式的求和式就是 $h[n]$ 的离散时间傅里叶变换。在更为一般的情况下，当 $|z|$ 不限制为 1 的时候，（2）式就称为 $h[n]$ 的 $z$ 变换。

一个离散时间信号 $x[n]$ 的 $z$ 变换定义为

\[ \tag 3 \boxed{X(z) \overset{\triangle}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}\]

若将复变量 $z$ 表示成极坐标形式

\[ \tag{4} z = r e^{j\omega}\]

用 $r$ 表示 $z$ 的模，而用 $\omega$ 表示它的相角。利用 $r$ 和 $\omega$，（3）式就变为

\[ \tag 5 X(r e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n](r e^{j\omega})^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{x[n]r^{-n}\} e^{-j\omega n}\]

由此可见，$X(r e^{j\omega})$ 就是序列 $x[n]$ 乘以实指数 $r^{-n}$ 后的傅里叶变换，即

\[ \tag 6 X(r e^{j\omega}) =\displaystyle \mathcal F\{x[n]r^{-n}\} \]

在 $z$ 变换中当变换变量 $z$ 的模为 1 时，即 $z=e^{j\omega}$，$z$ 变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数 $z$ 平面中，半径为 1 的圆上的 $z$ 变换。在 $z$ 平面上，这个圆称为单位圆。

一般来说，对于某一序列的 $z$ 变换，存在着某一个 $z$ 值的范围，对该范围内的 $z$，$X(z)$ 收敛，这样一些值的范围就称为收敛域（ROC）。如果 ROC 包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。

例 1
例 2

2. $z$ 变换的收敛域

性质 1：$X(z)$ 的 $ROC$ 是在 $z$ 平面上以原点为中心的圆环。

性质 2：$ROC$ 内不包含任何极点。

性质 3：如果 $x[n]$ 是有限长序列，那么 $ROC$ 就是整个 $z$ 平面，可能除去 $z=0$ 和/或 $z=\infty$。

性质 4：如果 $x[n]$ 是一个右边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于 $ROC$ 内，那么 $|z|>r_0$ 的全部有限 $z$ 值都一定在这个 $ROC$ 内。

性质 5：如果 $x[n]$ 是一个左边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于 $ROC$ 内，那么 $ 0< |z| < r_0$ 的全部 $z$ 值都一定在这个 $ROC$ 内。

性质 6：如果 $x[n]$ 是双边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于 $ROC$ 内，那么该 $ROC$ 一定是由包括 $|z|=r_0$ 的圆环所组成。

性质 7：如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的，那么它的 $ROC$ 就被极点所界定，或者延伸到无限远。

性质 8：如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的，而且若 $x[n]$ 是右边序列，那么，$ROC$ 就位于 $z$ 平面内最外层极点的外边；也就是半径等于 $X(z)$ 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 $x[n]$ 是因果序列（即 $x[n]$ 为 $n<0$ 等于 $0$ 的右边序列），那么，$ROC$ 也包括 $z=\infty$。

性质 9：如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的，而且若 $x[n]$ 是左边序列，那么，$ROC$ 就位于 $z$ 平面内最里层的非零极点的里边；也就是半径等于 $X(z)$ 中除去 $z=0$ 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 $z=0$。特别地，若 $x[n]$ 是反因果序列（即 $x[n]$ 为 $n>0$ 等于 $0$ 的左边序列），那么，$ROC$ 也包括 $z=0$。

3. $z$ 反变换

对（6）式两边进行傅里叶反变换可得

\[ \tag 7 \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) =x[n]r^{-n} \]

因此

\[ \tag 8 x[n] = r^{n} \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) = r^{n} \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega \]

将 $r^n$ 的指数因子移进积分号内，则有

\[ \tag 9 x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) (re^{j\omega})^ nd\omega \]

也就是说，将 $z$ 变换沿着在 $ROC$ 内 $z=re^{j\omega}$，$r$ 固定而 $\omega$ 在一个 $2\pi$ 区间内变化的闭合围线上求值，就能将 $x[n]$ 恢复出来。

现在将积分变量从 $\omega$ 改为 $z$。由于 $z=re^{j\omega}$，$r$ 固定，$dz=jre^{j\omega}d\omega=jzd\omega$，或者 $d\omega=(1/j)z^{-1}dz$。这样，（9）式中在 $\omega$ 的 $2\pi$ 区间的积分，利用 $z$ 以后，就对应于变量 $z$ 在环绕 $|z|=r$ 的圆上一周的积分。

\[ \tag{10} x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint X(z) z^ {n-1}dz \]

式中，$\oint$ 记为在半径为 $r$，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。$r$ 的值可选为使 $X(z)$ 收敛的任何值，也就是使 $|z|=r$ 的积分围线位于 $ROC$ 的任何值。

确定 $z$ 反变换的一种方法就是先进行部分分式展开，然后逐项求其反变换。

这种方法依赖于将 $X(z)$ 展开成如下形式的部分分式：

\[ \tag{11} X(z) = \sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{1-a_iz^{-1}}\]

若 $X(z)$ 的 $ROC$ 是位于极点 $z=a_i$ 的外边，那么其对应项的反变换就是 $A_i a_i^n u[n]$；另一方面，若 $X(z)$ 的 $ROC$ 是位于极点 $z=a_i$ 的里面，那么对应项的反变换就是 $-A_i a_i^n u[-n-1]$。

确定 $z$ 反变换的另一种方法是建立在 $X(z)$ 的幂级数展开的基础之上。由 $ X(z) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$ 可知，实际上 $z$ 变换就是涉及 $z$ 的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值 $x[n]$。

用幂级数展开法来求 $z$ 反变换对非有理的 $z$ 变换式特别有用。

4. $z$ 变换的性质

4.1. 线性

若

\[ x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1\]

和

\[ x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2\]

则

\[\tag{12} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}\]

4.2. 时移性质

若

\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]

则

\[\tag{13} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} z^{-n_0}X(z) \quad ROC=R \space 原点或无限远点可能加上或除掉}\]

4.3. $z$ 域尺度变换

若

\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]

则

\[\tag{14} \boxed{ z_0^nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{z}{z_0}) \quad ROC=|z_0|R }\]

这就是说，若 $z$ 是在 $X(z)$ 的 $ROC$ 内的一点，那么点 $|z_0|z$ 就在 $X(z/z_0)$ 的 $ROC$ 内。

4.4. 时间反转

若

\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]

则

\[\tag{15} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{1}{z}) \quad ROC=\frac{1}{R} }\]

这就是说，若 $z_0$ 是在 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $ROC$ 内，那么点 $1/z_0$ 就在 $x[-n]$ 的 $z$ 变换 $ROC$ 内。

4.5. 时间扩展

若令 $k$ 是一个正整数，并且定义

\[\tag{16} x_{(k)}[n] = \begin{cases}
x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\
0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍
\end{cases}\]

若

\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]

则

\[\tag{17} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z^k) \quad ROC=R^{1/k} }\]

这就是说，若 $z$ 是在 $X(z)$ 的 $ROC$ 内，那么点 $z^{1/k}$ 就在 $X(z^k)$ 的 $ROC$ 内。

4.6. 共轭

若

\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]

则

\[\tag{18} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X^*(z^*) \quad ROC=R }\]

4.7. 卷积性质

若

\[ x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1\]

和

\[ x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2\]

则

\[\tag{19} \boxed{ x_1[n] * x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}\]

4.8. $z$ 域微分

若

\[ x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R\]

则

\[\tag{20} \boxed{ nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} \quad ROC=R }\]

4.9. 初值定理

若 $n <0, x[n]=0$，则

\[\tag{21} x[0] = \lim_{z\to \infty}X(z)\]

4.10. 终值定理

若 $n <0, x[n]=0$，其 $z$ 变换的极点，除可以有一个一阶极点在 $z=1$ 上，其它极点均在单位圆内，则

\[\tag{21} \lim_{n\to \infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z-1)X(z)\]

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 $z$ 变换对

5. 利用 $z$ 变换分析与表征线性时不变系统

在离散时间 $LTI$ 系统的分析和表示中，$z$ 变换有其特别重要的作用，由卷积性质可得

\[\tag{23} Y(z) = H(z) X(z)\]

式中 $X(z)、Y(z) 、H(z)$ 分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的$z$ 变换。$H(z)$ 称为系统的系统函数或转移函数。

5.1. 因果性

一个因果 $LTI$ 系统其单位脉冲响应 $h[n]$是对于 $n<0，h[n] = 0$，因此是一个右边序列。由性质 4 知道 $H(z)$ 的 $ROC$ 是位于 $z$ 平面内某一个圆的外边。由性质 8 可知，对于一个因果序列，这个幂级数中，

\[\tag{24} H(z) =\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}\]

不包含任何 $z$ 的正幂次项，因此 $ROC$ 包括无限远点。综上所述，就得出如下属性：

一个离散时间 $LTI$ 系统当且仅当它的系统函数的 $ROC$ 是在某一个圆的外边，且包括无限远点，该系统就是因果的。

如果 $H(z)$ 是有理的，那么该系统要是因果的，其 $ROC$ 必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在 $ROC$ 内；等效地说，随 $z\to \infty$ 时， $H(z)$ 的极限必须是有限的。这就等效于，当 $H(z)$ 的分子和分母都是表示成的 $z$ 的多项式时，其分子的阶次不会大于分母的阶次。即

一个具有有理系统函数 $H(z)$ 的 $LTI$ 系统要是因果的，当且仅当：(1) $ROC$ 位于最外层极点某一个圆的外面；和 (2) 若 $H(z)$ 表示成 $z$ 的多项式之比，其分子的阶次不能大于分母的阶次。

5.2. 稳定性

一个离散时间 $LTI$ 系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的，在这种情况下， $h[n]$ 的傅里叶变换收敛，结果就是 $H(z)$ 的 $ROC$ 必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：

一个 $LTI$ 系统当且仅当它的系统函数 $H(z)$ 的 $ROC$ 包括单位圆，该系统就是稳定的。

对于一个具有有理系统函数的因果系统而言，$ROC$ 位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的 $ROC$ ，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即

一个具有有理系统函数的因果 $LTI$ 系统，当且仅当 $H(z)$ 的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点模均小于 1 时，系统就是稳定的。

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 $LTI$ 系统

对于一般的 $N$ 阶差分方程，可以对方程两边进行 $z$ 变换，并利用线性和时移性质。现考虑一个 $LTI$ 系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：

\[\tag{25} \sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]\]

对式（25）两边取 $z$ 变换，可得

\[\tag{26} \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}Y(z) = \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}X(z)\]

这样就有

\[\tag{27} H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}\]

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巴特西

z 变换

1. z 变换

2. \(z\) 变换的收敛域

3. \(z\) 反变换

4. \(z\) 变换的性质

4.1. 线性

4.2. 时移性质

4.3. \(z\) 域尺度变换

4.4. 时间反转

4.5. 时间扩展

4.6. 共轭

4.7. 卷积性质

4.8. \(z\) 域微分

4.9. 初值定理

4.10. 终值定理

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 \(z\) 变换对

5. 利用 \(z\) 变换分析与表征线性时不变系统

5.1. 因果性

5.2. 稳定性

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 \(LTI\) 系统

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