LOJ 3159: 「NOI2019」弹跳

题目传送门：LOJ #3159。

题意简述：

二维平面上有 \(n\) 个整点，给定每个整点的坐标 \((x_i,y_i)\)。

有 \(m\) 种边，第 \(i\) 种边从 \(p_i\) 号点连向满足 \(l_i\le x_j\le r_i\) 和 \(d_i\le y_j\le u_i\) 的点 \(j\)，即一个矩形范围内的所有点。

求 \(1\) 号点到其它每个点的最短路长度。

题解：

考虑 Dijkstra 算法求最短路的过程：

一开始只有起点的距离为 \(0\)，而其它点距离为无限大。

每次取出一个距离最短的没被更新过的点，用它更新它能到达的所有未被更新过的点的距离，并将其标记为已被更新。

重复这个过程直到所有点均被更新。

上述过程一般使用单调队列来维护距离最短的点。

而在此题中，一次更新时可能加入的点会有很多很多，不能每次将其一并加入。

可以考虑加入一条边而非点，加入的这条边就代表了这条边连向的所有点的距离。

类似地，每次取出距离最短的边，此时这条边代表的矩形内部的所有点均可以进行更新，因为只会去更新未被更新过的点，所以更新完这些点的距离后，可以把这些点全部删除。

上述方法是最短路中包含“一对多”，“多对多”的边时的处理办法。还有一种方法是使用数据结构模型优化建边，但是一般不会比这种方法来得优。

至于具体如何维护矩形删点操作，删点时可以暴力一个个删除，因为每个点只会被删除一次，问题在于如何快速找到要删除的点。

这里我使用线段树套平衡树（std::set）维护，外层线段树处理横坐标上的区间，内层平衡树可以快速访问目标点将其删除。

下面是代码，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^2n+m\log m)\)：

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <queue>

#include <set>

#define mp std::make_pair

typedef std::pair<int, int> pii;

typedef std::multiset<pii>::iterator iter;

const int MN = 70005, MM = 150005;

const int MS = 1 << 18 | 7;

int N, M, W, H, yp[MN], vis[MN], dis[MN];

int h[MN], nxt[MM], et[MM], eL[MM], eR[MM], eD[MM], eU[MM];

std::multiset<pii> st[MS];

std::priority_queue<pii> pq;

void Ins(int i, int l, int r, int x, int id) {

	st[i].insert(mp(yp[id], id));

	if (l == r) return ;

	int mid = (l + r) >> 1;

	if (x <= mid) Ins(i << 1, l, mid, x, id);

	else Ins(i << 1 | 1, mid + 1, r, x, id);

}

void Del(int i, int l, int r, int id, int d) {

	if (r < eL[id] || eR[id] < l) return ;

	if (eL[id] <= l && r <= eR[id]) {

		iter it = st[i].lower_bound(mp(eD[id], 0)), tmp;

		while (it != st[i].end() && it -> first <= eU[id]) {

			int u = it -> second;

			if (!vis[u]) {

				vis[u] = 1, dis[u] = d;

				for (int j = h[u]; j; j = nxt[j])

					pq.push(mp(-d - et[j], j));

			}

			tmp = it, ++it, st[i].erase(tmp);

		}

		return ;

	}

	int mid = (l + r) >> 1;

	Del(i << 1, l, mid, id, d);

	Del(i << 1 | 1, mid + 1, r, id, d);

}

int main() {

	freopen("jump.in", "r", stdin);

	freopen("jump.out", "w", stdout);

	scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &W, &H);

	for (int i = 1, x; i <= N; ++i) {

		scanf("%d%d", &x, &yp[i]);

		Ins(1, 1, W, x, i);

	}

	for (int i = 1, p; i <= M; ++i) {

		scanf("%d%d%d%d%d%d", &p, &et[i], &eL[i], &eR[i], &eD[i], &eU[i]);

		nxt[i] = h[p], h[p] = i;

	}

	dis[1] = 0, vis[1] = 1;

	for (int i = h[1]; i; i = nxt[i])

		pq.push(mp(-et[i], i));

	while (!pq.empty()) {

		pii ed = pq.top(); pq.pop();

		int dis = -ed.first, id = ed.second;

		Del(1, 1, W, id, dis);

	}

	for (int i = 2; i <= N; ++i) printf("%d\n", dis[i]);

	return 0;

}

巴特西

LOJ 3159: 「NOI2019」弹跳

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