【PowerOJ1744&网络流24题】方格取数问题（最小割）

题意：

n,m<=30

思路：

【问题分析】

二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。

2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。

3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

【建模分析】

这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权

支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模

型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容

量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。

有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 typedef unsigned int uint;

 typedef unsigned long long ull;

 typedef long double ld;

 typedef pair<int,int> PII;

 typedef pair<ll,ll> Pll;

 typedef vector<int> VI;

 typedef vector<PII> VII;

 typedef pair<ll,ll>P;

 #define N  100010

 #define M  1000000

 #define INF 1e9

 #define fi first

 #define se second

 #define MP make_pair

 #define pb push_back

 #define pi acos(-1)

 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)

 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)

 #define lowbit(x) x&(-x)

 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())

 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)

 #define ls p<<1

 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;

       double eps=1e-;

       int dx[]={-,,,};

       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[N],len[N],nxt[N],dis[N],

     a[][],b[][],num[][],s,S,T,tot;

 int read()

 {

    int v=,f=;

    char c=getchar();

    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}

    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();

    return v*f;

 }

 void add(int a,int b,int c)

 {

     nxt[++tot]=head[a];

     vet[tot]=b;

     len[tot]=c;

     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];

     vet[tot]=a;

     len[tot]=;

     head[b]=tot;

 }

 bool bfs()

 {

     queue<int>q;

     rep(i,,s) dis[i]=-;

     q.push(S),dis[S]=;

     while(!q.empty())

     {

         int u=q.front();

         q.pop();

         int e=head[u];

         while(e)

         {

             int v=vet[e];

             if(len[e]&&dis[v]==-)

             {

                 dis[v]=dis[u]+;

                 q.push(v);

             }

             e=nxt[e];

         }

     }

     return dis[T]!=-;

 }

 int dfs(int u,int aug)

 {

     if(u==T) return aug;

     int e=head[u],val=,flow=;

     while(e)

     {

         int v=vet[e];

         if(len[e]&&dis[v]==dis[u]+)

         {

             int t=dfs(v,min(len[e],aug));

             if(!t)

             {

                 e=nxt[e];

                 continue;

             }

             flow+=t;

             aug-=t;

             len[e]-=t;

             len[e^]+=t;

             if(!aug) break;

         }

         e=nxt[e];

     }

     if(!flow) dis[u]=-;

     return flow;

 }

 int maxflow()

 {

     int res=;

     while(bfs()) res+=dfs(S,INF);

     return res;

 }

 int main()

 {

     int n=read(),m=read();

     int ans=;

     rep(i,,n)

      rep(j,,m)

      {

          a[i][j]=read();

          ans+=a[i][j];

      }

     tot=;

     s=;

     rep(i,,n)

      rep(j,,m) num[i][j]=++s;

     rep(i,,n)

      rep(j,,m)

       if((i+j+)&)

        rep(k,,)

        {

             int x=i+dx[k],y=j+dy[k];

             if(x>&&x<=n&&y>&&y<=m) add(num[i][j],num[x][y],INF);

        }

     S=++s,T=++s;

     rep(i,,n)

      rep(j,,m)

       if((i+j+)&) add(S,num[i][j],a[i][j]);

        else add(num[i][j],T,a[i][j]);

     ans-=maxflow();

     printf("%d\n",ans);

     return ;

 }

巴特西

【PowerOJ1744&网络流24题】方格取数问题（最小割）

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