1.BST二叉搜索树

顾名思义，它是一棵二叉树。

它满足一个性质：每一个节点的权值大于它的左儿子，小于它的右儿子。

当然不只上面那两种树的结构。

那么根据性质，可以得到该节点左子树里的所有值都比它小，右子树的都比它大。

而平衡树都是基于BST的。

为什么叫做平衡树？对于数的操作可能会破坏BST的性质，这时会进行另外的操作，保持它的性质。

为什么要用BST?对于一棵BST，每一次的操作，都相当于进行一次二分，时间复杂度可以降到log级别。

这里写的是两个常用的平衡树。

2.Splay

splay树是基于一个rotate（旋转）函数和splay（伸展）函数来保证平衡。

初始化

struct Splay_Tree{int son[],fa,size,cnt,val;}T[N];

#define ls(x)    T[x].son[0]//左儿子

#define rs(x)    T[x].son[1]//右儿子

#define fa(x)    T[x].fa//当前点他爹

#define sze(x)    T[x].size//以当前点为根的树的大小

#define cnt(x)    T[x].cnt//当前点的出现次数

#define val(x)    T[x].val//当前点的权值

//不为别的，小括号看起来爽一点

rotate

例如，我们要将下图的x点右旋：

可以手推一下，总结：

rotate要影响3个点：x，y（x的父亲），z（y的父亲，x的爷爷）；

y是z的k儿子（k用来判断左儿子，还是右儿子，0是左儿子，1是右儿子，用^1进行切换），则x就变成z的k儿子；

x的k^1儿子变成y的k儿子，y变成x的k^1儿子。

（想不到怎么描述了，只能这么瞎逼逼）

inline void rotate(int x){

    int y=fa(x),z=fa(y);

    int k=(rs(y)==x),w=T[x].son[k^];

    T[z].son[rs(z)==y]=x,fa(x)=z;

    T[y].son[k]=w,fa(w)=y;

    T[x].son[k^]=y,fa(y)=x;

    update(y),update(x);

}

update就是个实时更新

splay

（这里借鉴抄了一下这篇博客的讲解）代码是我的

这一步是要将x点旋转到goal的儿子的位置

那么怎么做呢?循环就行了。但是还有一种特殊情况，由于这种情况都满足被旋转点和父节点都是左节点或者是右儿子，我们姑且称它为三点一线，先看图：

比如说我们这里要splay④，如果直接把④一直旋转到根节点的话就会是这样：

可以看见③还是①的左节点，相当于只是改变了④和①的关系，专业一点就是说形成了单旋使平衡树失衡。而解决的方法就是在出现三点一线时先旋转它的父节点避免单旋，正确的应该是这样：

inline void splay(int x,int goal){

    while(fa(x)!=goal){

        int y=fa(x),z=fa(y);

        if(z!=goal)    (y==ls(z))^(x==ls(y))?rotate(x):rotate(y);

        rotate(x);

    }

    if(!goal)    root=x;

}

insert

我们要先从根节点一直向下找到该插入的位置，若该节点已存在，cnt++就行，否则造一个新的点，别忘了splay保证平衡：

inline void insert(int x){

    int u=root,father=;

    while(u&&val(u)!=x){

        father=u;

        u=T[u].son[x>val(u)];

    }

    if(u)    cnt(u)++;

    else{

        u=++tot;

        if(father)    T[father].son[x>val(u)]=u;

        ls(u)=rs(u)=;fa(u)=father,val(u)=x,cnt(u)=sze(u)=;

    }

    splay(u,);

}

find

这是找到权值为val的点的位置，代码很好理解：

inline void find(int x){

    int u=root;

    if(!u)    return ;

    while(t[u].son[x>t[u].val]&&x!=t[u].val)

        u=t[u].son[x>t[u].val];

    splay(u,);

}

search

找前后驱。这里都打在了一个函数里，用0表示找前驱，1找后驱。

inline int search(int x,int tmp){//找前后驱

    find(x);

    int u=root;

    if(t[u].val<x&&!tmp)    return u;

    if(t[u].val>x&&tmp)     return u;

    u=t[u].son[tmp];

    while(t[u].son[tmp^])    u=t[u].son[tmp^];

    //这里蛇皮走位，而不是一直大或者一直小

    return u;

}

delete

删除操作。先找到前后驱，将前驱旋转至根，而将后驱旋转至前驱的右儿子。

这时要删除的点就单独的呆在了后驱的左儿子的位置。

如果cnt>1，cnt--；否则将该点变为0

inline void delet(int x){

    int pre=search(x,),suf=search(x,);

    splay(pre,),splay(suf,pre);

    int del=t[suf].son[];

    if(t[del].cnt>){t[del].cnt--;splay(del,);}

    else    t[suf].son[]=;

}

排名询问

find一遍，x的左儿子的大小+1就是排名

第k大的数

自根向下找，很好理解：

inline int search_value(int x){

    int u=root;

    if(t[u].size<x)    return ;

    while(){

        int v=t[u].son[];

        if(x>t[v].size+t[u].cnt){

            x-=t[v].size+t[u].cnt;

            u=t[u].son[];

        }

        else if(t[v].size>=x)    u=v;

        else return t[u].val;

    }

}

例题：luogu p3369普通平衡树

就是把上面的函数给混在一起：

#include<cstdio>

using namespace std;

const int maxn=;

int root,tot;

struct tree{int son[],fa,cnt,val,size;}t[maxn];

inline void update(int x){t[x].size=t[t[x].son[]].size+t[t[x].son[]].size+t[x].cnt;}

inline void rotate(int x){

    int y=t[x].fa,z=t[y].fa;

    int k=(t[y].son[]==x);

    t[z].son[(t[z].son[]==y)]=x;

    t[x].fa=z;

    t[y].son[k]=t[x].son[k^];

    t[t[x].son[k^]].fa=y;

    t[x].son[k^]=y;

    t[y].fa=x;

    update(y),update(x);

}

inline void splay(int x,int goal){

    while(t[x].fa!=goal){

        int y=t[x].fa,z=t[y].fa;

        if(z!=goal)    (t[z].son[]==y)^(t[y].son[]==x)?rotate(x):rotate(y);

        rotate(x);

    }

    if(!goal)    root=x;

}

inline void find(int x){

    int u=root;

    if(!u)    return ;

    while(t[u].son[x>t[u].val]&&x!=t[u].val)

        u=t[u].son[x>t[u].val];

    splay(u,);

}

inline void insert(int x){

    int u=root,father=;

    while(u&&t[u].val!=x){

        father=u;

        u=t[u].son[x>t[u].val];

    }

    if(u)    t[u].cnt++;

    else{

        u=++tot;

        if(father)    t[father].son[x>t[father].val]=u;

        t[u].son[]=t[u].son[]=;

        t[tot].fa=father,t[tot].val=x,t[tot].cnt=t[tot].size=;

    }

    splay(u,);

}

inline int search(int x,int tmp){//找前后驱

    find(x);

    int u=root;

    if(t[u].val<x&&!tmp)    return u;

    if(t[u].val>x&&tmp)        return u;

    u=t[u].son[tmp];

    while(t[u].son[tmp^])    u=t[u].son[tmp^];

    return u;

}

inline void delet(int x){

    int pre=search(x,),suf=search(x,);

    splay(pre,),splay(suf,pre);

    int del=t[suf].son[];

    if(t[del].cnt>){t[del].cnt--;splay(del,);}

    else    t[suf].son[]=;

}

inline int search_value(int x){

    int u=root;

    if(t[u].size<x)    return ;

    while(){

        int v=t[u].son[];

        if(x>t[v].size+t[u].cnt){

            x-=t[v].size+t[u].cnt;

            u=t[u].son[];

        }

        else if(t[v].size>=x)    u=v;

        else return t[u].val;

    }

}

signed main(){

    int n;scanf("%d",&n);

    insert(1e9),insert(-1e9);

    while(n--){

        int opt,x;

        scanf("%d%d",&opt,&x);

        if(opt==)    insert(x);

        if(opt==)    delet(x);

        if(opt==){    find(x);printf("%d\n",t[t[root].son[]].size);}

        if(opt==)    printf("%d\n",search_value(x+));

        if(opt==)    printf("%d\n",t[search(x,)].val);

        if(opt==)    printf("%d\n",t[search(x,)].val);

    }

    return ;

}

Splay

区间操作

其实思想类似于线段树，找到那个区间，对那个区间进行操作

例题：luogu p3391文艺平衡树

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

inline int read(){

    int sum=;bool flag=true;char ch=getchar();

    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')flag=false;ch=getchar();}

    while(ch>=''&&ch<=''){sum=sum*+ch-'';ch=getchar();}

    return (flag?sum:-sum);

}

inline void print(int x){

    if(x<)    putchar('-'),x=-x;

    while(x>=)    print(x/);

    putchar(x%+'');

}

const int maxn=;

int root,tot,tag[maxn],key[maxn],ans[maxn];

struct tree{int son[],fa,cnt,val,size;}t[maxn];

inline void update(int x){t[x].size=t[t[x].son[]].size+t[t[x].son[]].size+;}

inline void pushdown(int x){

    if(tag[x]){

        tag[t[x].son[]]^=,tag[t[x].son[]]^=;

        swap(t[x].son[],t[x].son[]);

        tag[x]=;

    }

}

inline int getson(int x){return t[t[x].fa].son[]==x;}

inline void rotate(int x){

    int y=t[x].fa,z=t[y].fa,tt=getson(x);

    if(z)    t[z].son[getson(y)]=x;

    else    root=x;

    t[x].fa=z;

    int tmp=t[x].son[!tt];

    if(tmp)    t[tmp].fa=y;

    t[y].son[tt]=tmp;

    t[x].son[!tt]=y;

    t[y].fa=x;

    update(y),update(x);

}

inline void splay(int x,int goal){

    while(t[x].fa!=goal){

        int y=t[x].fa,z=t[y].fa;

        if(z!=goal)    (getson(y)==getson(x))?rotate(y):rotate(x);

        rotate(x);

    }

}

inline int find(int x){

    int u=root;

    while(){

        pushdown(u);

        if(t[u].son[]&&x<=t[t[u].son[]].size)    u=t[u].son[];

        else{

            int tmp=(t[u].son[]?t[t[u].son[]].size:)+;

            if(x==tmp)    return u;

            x-=tmp;    u=t[u].son[];

        }

    }

}

inline int build(int l,int r,int tmp){

    int mid=(l+r)>>;

    t[mid].fa=tmp;

    key[mid]=ans[mid];

    if(l<mid)    t[mid].son[]=build(l,mid-,mid);

    if(r>mid)    t[mid].son[]=build(mid+,r,mid);

    update(mid);

    return mid;

}

inline void work(int x){

    pushdown(x);

    if(t[x].son[])    work(t[x].son[]);

    ans[++tot]=key[x];

    if(t[x].son[])    work(t[x].son[]);

}

signed main(){

    int n=read(),m=read();

    for(int i=;i<=n+;i++)    ans[i]=i-;

    root=build(,n+,);

    while(m--){

        int l=read(),r=read();

        l=find(l),r=find(r+);

        splay(l,);splay(r,l);

        tag[t[t[root].son[]].son[]]^=;

    }

    work(root);

    for(int i=;i<=n;i++)    printf("%d ",ans[i+]);

    return ;

}

文艺平衡树

题解可以看另一篇博客，我就不讲了

3*.Treap

Treap是Tree和Heap,所以很明显有heap（堆）的性质。

怎样保证BST的性质的同时保证堆的性质？

对每一个节点，有两个值，一个是权值，另一个是rnd随机值，来决定优先级。

而两个同时限制，那么旋转时会很麻烦。

对，所以我没学。淦~~~

但其实会了splay和fhq—treap，这个treap也没有学习的必要了

留个Treap的链接

对了，机房大佬表示Treap是真的菜

4.fhq-Treap

名字叫treap，但和treap之间的相同处，也只是同为带有随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树。

FHQ-Treap,又名非旋Treap,是范浩强大爷在某些奇特的灵感之下发明的一种平衡树

这里只需要了解2个主要操作，便可处理很多问题，包括可持久化。

split（分解）和merge（合并）

还需要运用2个另外的树，x和y，只是用来记录临时分裂的两棵树的根节点，因为树无旋，所以根节点下的树唯一确定。

split

递归进行分解，比该点权值小的放在x树上，比它大的放在y树上，同时实时更新。

当然权值分裂后还有排名（rnd值）分裂，这里只放了权值分裂。

inline void split(int id,int k,int &x,int &y){

        if(!id){x=y=;return ;}

        if(val[id]<=k){

            x=id;

            split(rs(id),k,rs(id),y);

        }

        else{

            y=id;

            split(ls(id),k,x,ls(id));

        }

        update(id);

    }

merge

首先merge操作是有前提条件的,要求是必须第一颗树权值最大的节点要小于第二棵树权值最小的节点，那么我们就比较它们的随机权值。如果rnd[l]<rnd[r]，我们就保留它的左子树，另一棵树作为它的右子树；如果rnd[l]>=rnd[r]，那我们可以保留第二棵树的右子树，另一颗树作为它的左子树。

例如下面两棵树要合并：

最后得到如下的树：

inline int merge(int a,int b){ 
    if(!a || !b)    return a+b;

    if(rnd[a] < rnd[b]){

         rs(a)=merge(rs(a),b);

         update(a);return a;

    }

    else{

        ls(b)=merge(a,ls(b));

        update(b);return b;

    }

}

find

这里我的find函数是找到以该点为根的树的排名为k的数的位置，同样是去看左子树的大小。

inline int find(int id,int k){//返回的以id为根的树的第k个数的位置

    while(true){

        if(k<=sze[ls(id)])    id=ls(id);

        else if(k==sze[ls(id)]+)    return id;

        else k-=sze[ls(id)]+,id=rs(id);

    }

}

insert

从根节点开始分裂，然后依次合并x树和该点，再合并y树。

inline int new_node(int x){

    sze[++cnt]=;

    val[cnt]=x;

    rnd[cnt]=rand();

    return cnt;

}

inline void insert(int val){

        split(root,val,x,y);

    root=merge(merge(x,new_node(val)),y);

}

delete

在用一棵临时树z，先从根节点按val分裂，再从x节点按val-1分裂，最后按顺序有依次合并。

inline void delet(int val){

    split(root,val,x,z);

    split(x,val-,x,y);

    y=merge(ls(y),rs(y));

    root=merge(merge(x,y),z);

}

排名询问

按val-1去分裂，左子树的大小+1就是排名，别忘了merge回去。

inline void query_rank(int val){

    split(root,val-,x,y);
    print(sze[x]+);

    root=merge(x,y);

}

第k大的数

用find函数就行

找前后驱

同理，还是先split，再merge。

例题：luogu p3369普通平衡树

#pragma GCC optimize(3)

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<ctime>

using namespace std;

inline int read(){

    int s=;bool flag=true;char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')flag=false;ch=getchar();}

    while(isdigit(ch)){s=(s<<)+(s<<)+ch-'';ch=getchar();}

    return flag?s:-s;

}

inline void write(int x){

    if(x<)    x=-x,putchar('-');

    if(x>)    write(x/);

    putchar(x%+'');

}

inline void print(int x){write(x);puts("");}

const int N=5e5+;

int root,x,y,z,cnt;

struct Treap{

    int ch[N][],val[N],rnd[N],sze[N];

    #define ls(id) ch[id][0]

    #define rs(id) ch[id][1]

    inline void update(int x){sze[x]=sze[ch[x][]]+sze[ch[x][]]+;}

    inline void split(int id,int k,int &x,int &y){

        if(!id){x=y=;return ;}

        if(val[id]<=k){x=id;split(rs(id),k,rs(id),y);}

        else{y=id;split(ls(id),k,x,ls(id));}

        update(id);

    }

    inline int merge(int a,int b){

        if(!a || !b)    return a+b;

        if(rnd[a] < rnd[b]){

            rs(a)=merge(rs(a),b);

            update(a);return a;

        }

        else{

            ls(b)=merge(a,ls(b));

            update(b);return b;

        }

    }

    inline int new_node(int x){

        sze[++cnt]=;

        val[cnt]=x;

        rnd[cnt]=rand();

        return cnt;

    }

    inline int find(int id,int k){//返回的以id为根的树的第k个数的位置

        while(true){

            if(k<=sze[ls(id)])    id=ls(id);

            else if(k==sze[ls(id)]+)    return id;

            else k-=sze[ls(id)]+,id=rs(id);

        }

    }

    inline void insert(int val){

        split(root,val,x,y);

        root=merge(merge(x,new_node(val)),y);

    }

    inline void delet(int val){

        split(root,val,x,z);

        split(x,val-,x,y);

        y=merge(ls(y),rs(y));

        root=merge(merge(x,y),z);

    }

    inline void query_rank(int val){

        split(root,val-,x,y);

        print(sze[x]+);

        root=merge(x,y);

    }

    inline void query_value(int k){

        print(val[find(root,k)]);

    }

    inline void query_pre(int value){

        split(root,value-,x,y);

        print(val[find(x,sze[x])]);

        root=merge(x,y);

    }

    inline void query_suf(int value){

        split(root,value,x,y);

        print(val[find(y,)]);

        root=merge(x,y);

    }

}Tree;

signed main(void){

    srand((unsigned)time(NULL));

    int T=read();

    while(T--){

        int opt=read(),t=read();

        switch(opt){

            case :    Tree.insert(t);break;

            case :    Tree.delet(t);break;

            case :    Tree.query_rank(t);break;

            case :    Tree.query_value(t);break;

            case :    Tree.query_pre(t);break;

            case :    Tree.query_suf(t);break;

        }

    }

    return ;

}

fhq-Treap

5*.关于fhq-treap的可持久化

还没有学懂，后面再更新。

巴特西

【数据结构】平衡树splay和fhq—treap

1.BST二叉搜索树

2.Splay

初始化

rotate

splay

insert

find

search

delete

排名询问

第k大的数

区间操作

3*.Treap

4.fhq-Treap

split

merge

find

insert

delete

排名询问

第k大的数

找前后驱

5*.关于fhq-treap的可持久化

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