【动态规划】DP搬运工3
UPD:修了点锅(啊昨天居然写脑抽了)
题目内容
给定两个长度为 \(n\) 的序列,定义 \(magic(A,B)=\sum\limits_{i=1}^n \max(A_i,B_i)\)。
现在给定 \(n,K\) 问有多少对 \((A,B)\) 满足 \(magic(A,B)\geq K\)。
结果 \(\mathrm{mod}\ 998244353\)。
思路
关于数据太水导致特判大法直接AC这件事重评了
关于两重排列,可以将 \(B\) 序列固定为 \(1、2、3\dots n\),最后方案数乘上 \(n!\) 。因为实际上最后变换的就是每一对的位置。然后考虑填 \(A\) 序列。
设 \(f[i][j][k]\) 表示当前填完了 \(1\) ~ \(i\) 的数,其中有 \(j\) 个数填到了下标为 \(i+1\) ~ \(n\) 的位置,\(k\) 为所有 \(\max\{ a[p],b[p] \}\leq i\) 中 \(\max\{ a[p],b[p] \}\) 的和的方案数。
转移分类讨论:
若将 \(i\) 填到了下标 \(i\) ,则
k+=i
。若将 \(i\) 填到了下标小于 \(i\) 的位置,下标 \(i\) 的位置填入了小于 \(i\) 的数,则
k+=2*i
,j--
。若将 \(i\) 填到了下标小于 \(i\) 的位置,下标 \(i\) 的位置填入了大于 \(i\) 的数,则
k+=i
。若将 \(i\) 填到了下标大于 \(i\) 的位置,下标 \(i\) 的位置填入了小于 \(i\) 的数,则
k+=i
。若将 \(i\) 填到了下标大于 \(i\) 的位置,下标 \(i\) 的位置填入了大于 \(i\) 的数,则
j++
。
其中1、3、4是可以合并的,添加方案数就为2*j+1
。
然后最后答案为\(\sum_{x\geq K} f[n][0][x]\)
其实你在转移的时候把大于 \(K\) 的都加在 \(K\) 里,就不用再求和了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=50+10;
const int Mod=998244353;
int n,K;
long long ans;
int f[maxn][maxn][maxn*maxn];
int main(){
#ifndef LOCAL
freopen("D.in","r",stdin);
freopen("D.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&K);
f[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
for(int k=0;k<=K;k++){
long long G=f[i-1][j][k];
f[i][j][min(k+i,K)]=(f[i][j][min(k+i,K)]+(2*j+1)*G%Mod)%Mod;//1&3&4
f[i][j+1][k]=(f[i][j+1][k]+G);//5
if(j)f[i][j-1][min(k+2*i,K)]=(f[i][j-1][min(k+2*i,K)]+j*j*G%Mod)%Mod;//2
}
ans=f[n][0][K];
for(int i=2;i<=n;i++)
ans=ans*i%Mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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