普里姆（Prim）算法

概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图（即“带权图”）里搜索最小生成树。即此算法搜索到的边（Edge）子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（Vertex）且其所有边的权值之和最小。

（注：N个顶点的图中，其最小生成树的边为N-1条，且各边之和最小。树的每一个节点（除根节点）有且只有一个前驱，所以，只有N-1条边。）

该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

定义

假设G=(V, {E})是连通网，TE是N上最小生成树中边（Edge）的集合。V是图G的顶点的集合，E是图G的边的集合。算法从U={u₀} (u₀∈V)，TE={}开始。重复执行下述操作：

在所有u∈U，v∈V-U的边(u, v)∈E中找一条代价（权值）最小的边(u₀, v₀)并入集合TE。
同时v₀并入U
直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V, {TE})为N的最小生成树。

由算法代码中的循环嵌套可得知此算法的时间复杂度为O(n²)。

过程简述

输入：带权连通图（即“网”）G，其顶点的集合为V，边的集合为E。

初始：U={u}，u为从V中任意选取顶点，作为起始点；TE={}。

操作：重复以下操作，直到U=V，即两个集合相等。

在集合E中选取权值最小的边(u, v)，u∈U，v∈V且v∉U。（如果存在多条满足前述条件，即权值相同的边，则可任意选取其中之一。）
将v并入U，将(u, v)边加入TE。

输出：用集合U和TE来描述所得到的最小生成树。

如何实现

如上面的这个图G=(V, {E})，其中：

V={v₀, v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈}，

E= {(v₀, v₁), (v₀, v₅), (v₁, v₆), (v₅, v₆), (v₁, v₈), (v₁, v₂), (v₂, v₈), (v₆, v₇), (v₃, v₆), (v₄, v₅), (v₄, v₇), (v₃, v₇), (v₃, v₄), (v₃,v₈), (v₂, v₃)}

用邻接矩阵表示该图G，得上图右边的邻接矩阵。

此图G有n = 9个顶点，其最小生成树则必有n-1 = 8条边。

（注意：图G的最小生成树是一棵树，且图G中的每个顶点都在这棵树里，故必含有n个顶点；而除树根节点，每个节点有且只有一个前驱，所以图G的最小生成树有且只有n-1条边。若边数大于n-1，则必有树中某个顶点与另一个顶点存在第二条边，从而不能构成树。树中节点是一对多关系而不是多对多关系。）

①输入：带权连通图G=(V, {E})，求图G的最小生成树。

②初始：U={u}，取图G中的v₀作为u，用数组adjVex=int[9]来表示U（最终U要等于V），adjVex数组记录的是U中顶点的下标。U是最小生成树T的各边的起始顶点的集合。

adjVex初始值为[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]，表示从顶点v₀开始去寻找权值最小的边。

用数组lowCost = int[9] 表示adjVex中各点到集合V中顶点构成的边的权值。lowCost数组中元素的索引即是顶点V的下标。解释：adjVex[3] == 0，表示v₀，adjVex[5] == 0，表示v₀。lowCost[3] == ∞且adjVex[3] == 0，表示(v₀, v₃)边不存在；lowCost[5] == 11且adjVex[5] == 0，表示(v₀, v₅)边的权值为11。

如：邻接矩阵中的v₀行，v₀顶点与各顶点构成的边及其权值用下面这的方式表示：

示例一

索引：index [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

权值：lowCost[0, 10, ∞, ∞, ∞, 11, ∞, ∞, ∞]

下标：adjVex [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

(v₀, v₀, 0), (v₀, v₃, ∞), (v₀, v₅, 11)

0表示以该顶点为终点的边已经并入图G的最小生成树的边集合——TE集合，不需要再比较（搜索）。

∞表示以该顶点为终点的边不存在。

③操作：

上面示例一中，最小的权值为10，此时lowCost中下标k = 1，相应地adjVex[k]即adjVex[1] == 0，记录下此时的边为(v₀, v₁)。
将adjVex[k]即adjVex[1]设为1，表示将顶点v₁放入图G的最小生成树的顶点集合U中。
将lowCost[k]即lowCost[1]设为0，表示以v1为终止点的边已搜索。
然后，将焦点转向顶点v₁，看看从v₁开始的边有哪些是权值小于从之前的顶点v₀开始的边的。此时k == 1。则有以下过程：

索引：index [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

权值：lowCost[ 0, 0, ∞, ∞, ∞, 11, ∞, ∞, ∞]

下标：adjVex [ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

顶点：vex[1] [10, 0,18, ∞, ∞, ∞,16, ∞,12]

由于lowCost[0]和lowCost[1]为0，所以从lowCost[2]开始比较权值。vex[1][2] == 18 < lowCost[2]，意思是(v₀, v₂)==∞不存在这条边，(v₁, v₂) == 18，存在权为18的边(v₁, v₂)，类似的还有vex[1][6] == 16 < lowCost[6]和vex[1][8] == 12 < lowCost[8]。

把k == 1赋值给

adjVex[2]、adjVex[6]和adjVex[8]。

把权值18、16和12赋值给

lowCost[2]、lowCost[6]和lowCost[8]。

更新后的权值数组和邻接顶点数组如下：

索引：index [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

权值：lowCost[ 0, 0, 18, ∞, ∞, 11, 16, ∞, 12]

下标：adjVex [ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1]

故下次循环从顶点v₁为起点去搜索lowCost中权值最小的边。如此往复循环，直到图G中的每一个顶点都被遍历到。（邻接矩阵的每一行都被遍历到）

④输出：

演示过程

Loop 1

lowCost: [ 0, 10, ∞, ∞, ∞, 11, ∞, ∞, ∞ ]

adjVex: [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

lowCost: [ 0, 0, 18, ∞, ∞, 11, 16, ∞, 12 ]

adjVex: [ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1 ]

Loop 2

lowCost: [ 0, 0, 18, ∞, ∞, 11, 16, ∞, 12 ]

adjVex: [ 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 18, ∞, 26, 0, 16, ∞, 12 ]

adjVex: [ 0, 1, 5, 0, 5, 0, 1, 0, 1 ]

Loop 3

lowCost: [ 0, 0, 18, ∞, 26, 0, 16, ∞, 12 ]

adjVex: [ 0, 1, 5, 0, 5, 0, 1, 0, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 8, 21, 26, 0, 16, ∞, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 8, 5, 0, 1, 0, 1 ]

Loop 4

lowCost: [ 0, 0, 8, 21, 26, 0, 16, ∞, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 8, 5, 0, 1, 0, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 0, 21, 26, 0, 16, ∞, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 8, 2, 0, 1, 0, 1 ]

Loop 5

lowCost: [ 0, 0, 0, 21, 26, 0, 16, ∞, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 8, 2, 0, 1, 0, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 0, 21, 26, 0, 0, 19, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 8, 2, 6, 1, 6, 1 ]

Loop 6

lowCost: [ 0, 0, 0, 21, 26, 0, 0, 19, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 8, 2, 6, 1, 6, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 0, 16, 7, 0, 0, 0, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 7, 7, 6, 7, 6, 1 ]

Loop 7

lowCost: [ 0, 0, 0, 16, 7, 0, 0, 0, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 7, 7, 6, 7, 6, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 0, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 7, 7, 6, 7, 4, 1 ]

Loop 8

lowCost: [ 0, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 0, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 7, 7, 6, 7, 4, 1 ]

lowCost: [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

adjVex: [ 0, 1, 8, 7, 7, 6, 7, 4, 3 ]

运行结果

(0, 1)

(0, 5)

(1, 8)

(8, 2)

(1, 6)

(6, 7)

(7, 4)

(7, 3)

算法代码

C#代码

using System;

namespace Prim

{

    class Program

    {

        static void Main(string[] args)

        {

            int numberOfVertexes = 9,

                infinity = int.MaxValue;

            int[][] graph = new int[][] {

                new int[]{0, 10, infinity, infinity, infinity, 11, infinity, infinity, infinity },

                new int[]{ 10, 0, 18, infinity, infinity, infinity, 16, infinity, 12 },

                new int[]{ infinity, 18, 0, 22, infinity, infinity, infinity, infinity, 8 },

                new int[]{ infinity, infinity, 22, 0, 20, infinity, 24, 16, 21 },

                new int[]{ infinity, infinity, infinity, 20, 0, 26, infinity, 7, infinity },

                new int[]{ 11, infinity, infinity, infinity, 26, 0, 17, infinity, infinity },

                new int[]{ infinity, 16, infinity, 24, infinity, 17, 0, 19, infinity },

                new int[]{ infinity, infinity, infinity, 16, 7, infinity, 19, 0, infinity },

                new int[]{ infinity, 12, 8, 21, infinity, infinity, infinity, infinity, 0 },

            };

            //Prim(graph, numberOfVertexes);

            PrimSimplified(graph, numberOfVertexes);

        }

        static void Prim(int[][] graph, int numberOfVertexes)

        {

            bool debug = true;

            int[] adjVex = new int[numberOfVertexes],                          // 邻接顶点数组：搜索边的最小权值过程中各边的起点坐标

                lowCost = new int[numberOfVertexes];                           // 各边权值数组：搜索边的最小权值过程中各边的权值，数组下标为边的终点。

            for (int i = 0; i < numberOfVertexes; i++)                         // 从图G的下标为0的顶点开始搜索。（也是图G的最小生成树的顶点集合）。

            {

                adjVex[i] = 0;

            }

            for (int i = 0; i < numberOfVertexes; i++)                         // 初始从下标为0的顶点开始到下标为i的顶点的边的权值去搜索。找lowCost中权值最小的下标i。

            {

                lowCost[i] = graph[0][i];

            }

            int k = 0;                                                         // 初始假定权值最小的边的终点的下标为k。

            for (int i = 1; i < numberOfVertexes; i++)

            {

                if (debug)

                {

                    Console.WriteLine($"Loop {i}");

                    Console.Write("lowCost: ");

                    PrintArray(lowCost);

                    Console.Write(" adjVex: ");

                    PrintArray(adjVex);

                    Console.WriteLine();

                }

                int minimumWeight = int.MaxValue;                              // 搜索过程中发现到的最小的权值。初始设置为最大的整数值以示两点间无边。

                for (int j = 1; j < numberOfVertexes; j++)

                {

                    if (lowCost[j] != 0 && lowCost[j] < minimumWeight)         // lowCost中0表示该点已经搜索过了。lowCost[j] < minimumWeight即发现目前最小权值。

                    {

                        minimumWeight = lowCost[j];                            // 发现目前最小权值。

                        k = j;                                                 // 目前最小权值的边的终点下标。

                    }

                }

                if (!debug)

                {

                    Console.WriteLine($"({adjVex[k]}, {k})");                  // 输出边

                }

                adjVex[i] = k;                                                 // 此时找到的k值即是权值最小的边的终点。将V[k]放入集合U。（这步可省略，因lowCost[j]已被标为“无需搜索”了）。

                lowCost[k] = 0;                                                // 0表示该点已经搜索过了，已不需要再被搜索了。

                for (int j = 1; j < numberOfVertexes; j++)                     // 转到以V[k]为开始顶点的边，去与前面u为起始顶点到V[i]为终止顶点的边的权值去比较。

                {

                    if (lowCost[j] != 0 && graph[k][j] < lowCost[j])           // lowCost中0表示该点已经搜索过了。graph[k][j] < lowCost[j]即发现更小权值。

                    {

                        lowCost[j] = graph[k][j];                              // 更新权值；索引j即终点下标。

                        adjVex[j] = k;                                         // 下次寻找权值小的边时，从k为下标的顶点为起点。

                    }

                }

                if (debug)

                {

                    Console.Write("lowCost: ");

                    PrintArray(lowCost);

                    Console.Write(" adjVex: ");

                    PrintArray(adjVex);

                    Console.WriteLine();

                }

            }

        }

        static void PrimSimplified(int[][] graph, int numberOfVertexes)

        {

            int[] adjVex = new int[numberOfVertexes],                          // 邻接顶点数组：搜索边的最小权值过程中各边的起点坐标

                lowCost = new int[numberOfVertexes];                           // 各边权值数组：搜索边的最小权值过程中各边的权值，数组下标为边的终点。

            for (int i = 0; i < numberOfVertexes; i++)

            {

                adjVex[i] = 0;                                                 // 从图G的下标为0的顶点开始搜索。（也是图G的最小生成树的顶点集合）。

                lowCost[i] = graph[0][i];                                      // 初始从下标为0的顶点开始到下标为i的顶点的边的权值去搜索。找lowCost中权值最小的下标i。

            }

            int k = 0;                                                         // 初始假定权值最小的边的终点的下标为k。

            for (int i = 1; i < numberOfVertexes; i++)

            {

                int minimumWeight = int.MaxValue;                              // 搜索过程中发现到的最小的权值。初始设置为最大的整数值以示两点间无边。

                for (int j = 1; j < numberOfVertexes; j++)

                {

                    if (lowCost[j] != 0 && lowCost[j] < minimumWeight)         // lowCost中0表示该点已经搜索过了。lowCost[j] < minimumWeight即发现目前最小权值。

                    {

                        minimumWeight = lowCost[j];                            // 发现目前最小权值。

                        k = j;                                                 // 目前最小权值的边的终点下标。

                    }

                }

                Console.WriteLine($"({adjVex[k]}, {k})");                      // 输出边

                lowCost[k] = 0;                                                // 0表示该点已经搜索过了，已不需要再被搜索了。

                for (int j = 1; j < numberOfVertexes; j++)                     // 转到以V[k]为开始顶点的边，去与前面u为起始顶点到V[i]为终止顶点的边的权值去比较。

                {

                    if (lowCost[j] != 0 && graph[k][j] < lowCost[j])           // lowCost中0表示该点已经搜索过了。graph[k][j] < lowCost[j]即发现更小权值。

                    {

                        lowCost[j] = graph[k][j];                              // 更新权值；索引j即终点下标。

                        adjVex[j] = k;                                         // 下次寻找权值小的边时，从k为下标的顶点为起点。

                    }

                }

            }

        }

        static void PrintArray(int[] array)

        {

            Console.Write("[ ");

            for (int i = 0; i < array.Length - 1; i++)                         // 输出数组的前面n-1个

            {

                Console.Write($"{ToInfinity(array[i])}, ");

            }

            if (array.Length > 0)                                              // 输出数组的最后1个

            {

                int n = array.Length - 1;

                Console.Write($"{ToInfinity(array[n])}");

            }

            Console.WriteLine(" ]");

        }

        static string ToInfinity(int i) => i == int.MaxValue ? "∞" : i.ToString();

    }

}

TypeScript代码

function prim(graph: number[][], numberOfVertexes: number) {

    let debug: boolean = true;

    let adjVex: number[] = [],                  // 邻接顶点数组：搜索边的最小权值过程中各边的起点坐标

        lowCost = [];                           // 各边权值数组：搜索边的最小权值过程中各边的权值，数组下标为边的终点。

    for (let i = 0; i < numberOfVertexes; i++)  // 从图G的下标为0的顶点开始搜索。（也是图G的最小生成树的顶点集合）。

    {

        adjVex[i] = 0;

    }

    for (let i = 0; i < numberOfVertexes; i++)  // 初始从下标为0的顶点开始到下标为i的顶点的边的权值去搜索。找lowCost中权值最小的下标i。

    {

        lowCost[i] = graph[0][i];

    }

    let k: number = 0;                          // 初始假定权值最小的边的终点的下标为k。

    for (let i = 1; i < numberOfVertexes; i++) {

        if (debug) {

            console.log(`Loop ${i}`);

            console.log(`lowCost: ${printArray(lowCost)}`);

            console.log(` adjVex: ${printArray(adjVex)}`);

        }

        let minimumWeight: number = Number.MAX_VALUE;  // 搜索过程中发现到的最小的权值。初始设置为最大的整数值以示两点间无边。

        for (let j = 1; j < numberOfVertexes; j++) {

            if (lowCost[j] != 0 && lowCost[j] < minimumWeight)  // lowCost中0表示该点已经搜索过了。lowCost[j] < minimumWeight即发现目前最小权值。

            {

                minimumWeight = lowCost[j];     // 发现目前最小权值。

                k = j;                          // 目前最小权值的边的终点下标。

            }

        }

        if (!debug) {

            console.log(`(${adjVex[k]}, ${k})`);// 输出边

        }

        adjVex[i] = k;                          // 此时找到的k值即是权值最小的边的终点。将V[k]放入集合U。（这步可省略，因lowCost[j]已被标为“无需搜索”了）。

        lowCost[k] = 0;                         // 0表示该点已经搜索过了，已不需要再被搜索了。

        for (let j = 1; j < numberOfVertexes; j++)  // 转到以V[k]为开始顶点的边，去与前面u为起始顶点到V[i]为终止顶点的边的权值去比较。

        {

            if (lowCost[j] != 0 && graph[k][j] < lowCost[j])  // lowCost中0表示该点已经搜索过了。graph[k][j] < lowCost[j]即发现更小权值。

            {

                lowCost[j] = graph[k][j];       // 更新权值；索引j即终点下标。

                adjVex[j] = k;                  // 下次寻找权值小的边时，从k为下标的顶点为起点。

            }

        }

        if (debug) {

            console.log(`lowCost: ${printArray(lowCost)}`);

            console.log(` adjVex: ${printArray(adjVex)}`);

            console.log('');

        }

    }

}

function primSimplified(graph: number[][], numberOfVertexes: number) {

    let adjVex: number[] = [],                  // 邻接顶点数组：搜索边的最小权值过程中各边的起点坐标

        lowCost = [];                           // 各边权值数组：搜索边的最小权值过程中各边的权值，数组下标为边的终点。

    for (let i = 0; i < numberOfVertexes; i++) {

        adjVex[i] = 0;                          // 从图G的下标为0的顶点开始搜索。（也是图G的最小生成树的顶点集合）。

        lowCost[i] = graph[0][i];               // 初始从下标为0的顶点开始到下标为i的顶点的边的权值去搜索。找lowCost中权值最小的下标i。

    }

    let k: number = 0;                          // 初始假定权值最小的边的终点的下标为k。

    for (let i = 1; i < numberOfVertexes; i++) {

        let minimumWeight: number = Number.MAX_VALUE;  // 搜索过程中发现到的最小的权值。初始设置为最大的整数值以示两点间无边。

        for (let j = 1; j < numberOfVertexes; j++) {

            if (lowCost[j] != 0 && lowCost[j] < minimumWeight)  // lowCost中0表示该点已经搜索过了。lowCost[j] < minimumWeight即发现目前最小权值。

            {

                minimumWeight = lowCost[j];     // 发现目前最小权值。

                k = j;                          // 目前最小权值的边的终点下标。

            }

        }

        console.log(`(${adjVex[k]}, ${k})`);    // 输出边

        lowCost[k] = 0;                         // 0表示该点已经搜索过了，已不需要再被搜索了。

        for (let j = 1; j < numberOfVertexes; j++)  // 转到以V[k]为开始顶点的边，去与前面u为起始顶点到V[i]为终止顶点的边的权值去比较。

        {

            if (lowCost[j] != 0 && graph[k][j] < lowCost[j])  // lowCost中0表示该点已经搜索过了。graph[k][j] < lowCost[j]即发现更小权值。

            {

                lowCost[j] = graph[k][j];       // 更新权值；索引j即终点下标。

                adjVex[j] = k;                  // 下次寻找权值小的边时，从k为下标的顶点为起点。

            }

        }

    }

}

function printArray(array: number[]): string {

    let str: string[] = [];

    str.push("[ ");

    for (let i = 0; i < array.length - 1; i++)  // 输出数组的前面n-1个

    {

        str.push(`${toInfinity(array[i])}, `)

    }

    if (array.length > 0)                       // 输出数组的最后1个

    {

        let n: number = array.length - 1;

        str.push(`${toInfinity(array[n])}`);

    }

    str.push(" ]");

    return str.join("");

}

function toInfinity(i: number) {

    return i == Number.MAX_VALUE ? "∞" : i.toString();

}

function Main() {

    let numberOfVertexes: number = 9,

        infinity = Number.MAX_VALUE;

    let graph: number[][] = [

        [0, 10, infinity, infinity, infinity, 11, infinity, infinity, infinity],

        [10, 0, 18, infinity, infinity, infinity, 16, infinity, 12],

        [infinity, 18, 0, 22, infinity, infinity, infinity, infinity, 8],

        [infinity, infinity, 22, 0, 20, infinity, 24, 16, 21],

        [infinity, infinity, infinity, 20, 0, 26, infinity, 7, infinity],

        [11, infinity, infinity, infinity, 26, 0, 17, infinity, infinity],

        [infinity, 16, infinity, 24, infinity, 17, 0, 19, infinity],

        [infinity, infinity, infinity, 16, 7, infinity, 19, 0, infinity],

        [infinity, 12, 8, 21, infinity, infinity, infinity, infinity, 0],

    ];

    // let graph: number[][] = [

    //     [0, 1, 5, infinity, infinity, infinity, infinity, infinity, infinity],

    //     [1, 0, 3, 7, 5, infinity, infinity, infinity, infinity],

    //     [5, 3, 0, infinity, 1, 7, infinity, infinity, infinity],

    //     [infinity, 7, infinity, 0, 2, infinity, 3, infinity, infinity],

    //     [infinity, 5, 1, 2, 0, 3, 6, 9, infinity],

    //     [infinity, infinity, 7, infinity, 3, 0, infinity, 5, infinity],

    //     [infinity, infinity, infinity, 3, 6, infinity, 0, 2, 7],

    //     [infinity, infinity, infinity, infinity, 9, 5, 2, 0, 4],

    //     [infinity, infinity, infinity, infinity, infinity, infinity, 7, 4, 0],

    // ];

    //prim(graph, numberOfVertexes);

    primSimplified(graph, numberOfVertexes);

}

Main();

/**

 运行结果：

(0, 1)

(1, 2)

(2, 4)

(4, 3)

(4, 5)

(3, 6)

(6, 7)

(7, 8)

 */

参考资料：

《大话数据结构》 - 程杰著 - 清华大学出版社第247页

之前不会Markdown语法的角标（Subscript），所以分成了两篇文章。这里将之前的合成整理为一篇。

巴特西