[MIT 18.06 线性代数]Intordution to Vectors向量初体验

1.1. Vectors and Linear Combinations向量和线性组合

emmm，想写细一点，发现下面的概括很准确了，没必要

A vector v in two-dimensional space has two components v1 and v2.（二维空间中的向量v，有2个分量v1和v2）
$v + w = ( v1 + w1, v2 + w2) $and $cv = ( cv1, cv2)$ are found a component at a time.（向量的加法和数乘，每次计算出一个分量）
A linear combination of three vectors u and v and w is cu+ dv + ew.（向量的线性组合）
Take all linear combinations of u, or u and v, or u, v, w. In three dimensions,

those combinations typically fill a line, then a plane, then the whole space $R^3$ .（在三维的情况下，u、u和v、u，v和w的全部线性组合，分别能够填满一条线、一个平面和一个三维空间）

emmm，想写细一点，发现下面的概括很准确了，没必要

The dot product $v • w$ multiplies each component $v_i$ by $w_i$ and adds all $v_iw_i$. （2个向量的点积 = 对应分量乘积之和）
The length $||v||$ is the square root of $v · v$. Then $u = v / ||v||$ is a unit vector : length 1.（向量长度是向量自身点积的算术平方根，单元向量的长度是1）
The dot product is $v · w$ = 0 when vectors $v$ and $w$ are perpendicular.（2个向量互相垂直时，点积为0）
The cosine of θ ( the angle between any nonzero v and w) never exceeds 1（任意2个非0向量夹角的余弦值都不超过1）:

Cosine $cosθ = \frac{v · w}{||v||||w||}$, Schwarz inequality $|v·w|≤||v||||w||$

矩阵只是一种表示方式，一种形式，重要的是：矩阵中元素的解释方式、矩阵间操作的含义，矩阵和向量间操作的含义。

某种意义上来说，可以理解为：解线性方程组的时候，嫌麻烦，想少写点字。。。因此简化成了矩阵形式。。。

一些和矩阵密切相关的概念（简单知道就行，公开课也没在第一章讲这些，而是在后面的章节细说）：

Matrix times vector: A$x$ = combination of the columns of A（矩阵 × 向量 = 矩阵中列向量的线性组合）
The solution to A$x$ = b is $x$ = $A^{-1}b$, when A is an invertible matrix.（如果A是可逆矩阵，那么Ax=b方程的解是：x=$A^{-1}b$）
The cyclic matrix C has no inverse. Its three columns lie in the same plane.（循环矩阵C没有逆矩阵，它的3个列向量在同一个平面上）

Those dependent columns add to the zero vector. Cx = 0 has many solutions.（线性相关的列向量和为0向量时，有非0解）
This section is looking ahead to key ideas, not fully explained yet.（1.3这个小节有点超前了。os：确实，很多概念在公开课上都是后面会详细讲的，这部分目前只需要简单知道就行，讲太细会丧失学习兴趣的）