题意

给定一个有向图，可以有重边，每条边上有一个权值表示删掉这条边的代价，问最少花费多少代价能使从s到t节点的最短路径增大？1≤n,m≤10000

思路

容易想到应该是删最短路上的边，最短路可能不止一条，所以使原图1到n的所有最短路不连通即可，这就是最小割呀！选出权值和最小的边使得图不连通，这里是使最短路图不连通。

所以做法就是先建两个图，一个是u->v的有向边，另一个是v->u的有向边，从1跑一下Dijkstra，从n跑一下Dijkstra，我们枚举每条边（u,v），如果这条边是最短路上的边，那么应满足dis1[u]+val(u,v)+dis2[v]=dis1[n]，即1到u的最短距离+u到v的距离+v到n的最短距离=1到n的最短距离。

最小割=最大流，跑一下Dinic即可啦。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define int ll

const int N=1e6+5;

const ll inf=1e16;

struct node

{

    int p,w;

    node(int a,int b)

    {

        p=a;

        w=b;

    }

    friend bool operator<(node a,node b) //权值小的先出队

    {

        if(a.w!=b.w) return a.w>b.w;

        return a.p>b.p;

    }

};

vector <node> eg1[N],eg2[N];

int dis1[N],n,dis2[N];

void add1(int u,int v,int w)

{

    eg1[u].push_back(node(v,w));

}

void add2(int u,int v,int w)

{

    eg2[u].push_back(node(v,w));

}

void Dijkstra1(int now)

{

    for(int i=0; i<=n; i++) dis1[i]=inf;

    dis1[now]=0;

    priority_queue <node> pq;

    pq.push(node(now,dis1[now]));

    while(!pq.empty())

    {

        node f=pq.top();

        pq.pop();

        for(int i=0; i<eg1[f.p].size(); i++)

        {

            node t=eg1[f.p][i];

            if(dis1[t.p]>t.w+f.w)

            {

                dis1[t.p]=t.w+f.w;

                pq.push(node(t.p,dis1[t.p]));

            }

        }

    }

}

void Dijkstra2(int now)

{

    for(int i=0; i<=n; i++) dis2[i]=inf;

    dis2[now]=0;

    priority_queue <node> pq;

    pq.push(node(now,dis2[now]));

    while(!pq.empty())

    {

        node f=pq.top();

        pq.pop();

        for(int i=0; i<eg2[f.p].size(); i++)

        {

            node t=eg2[f.p][i];

            if(dis2[t.p]>t.w+f.w)

            {

                dis2[t.p]=t.w+f.w;

                pq.push(node(t.p,dis2[t.p]));

            }

        }

    }

}

/***************************************/

int x,y,z,maxflow,deep[N];//deep深度

struct Edge

{

    int next,to,dis;

} edge[N];

int num_edge=-1,head[N],cur[N];//cur用于复制head

queue <int> q;

void add_edge(int from,int to,int dis,bool flag)

{

    edge[++num_edge].next=head[from];

    edge[num_edge].to=to;

    if (flag) edge[num_edge].dis=dis;//反图的边权为 0

    head[from]=num_edge;

}

//bfs用来分层

bool bfs(int s,int t)

{

    memset(deep,0x7f,sizeof(deep));

    while (!q.empty()) q.pop();

    for (int i=1; i<=n; i++) cur[i]=head[i];

    deep[s]=0;

    q.push(s);

    while (!q.empty())

    {

        int now=q.front();

        q.pop();

        for (int i=head[now]; i!=-1; i=edge[i].next)

        {

            if (deep[edge[i].to]>inf && edge[i].dis)//dis在此处用来做标记 是正图还是返图

            {

                deep[edge[i].to]=deep[now]+1;

                q.push(edge[i].to);

            }

        }

    }

    if (deep[t]<inf) return true;

    else return false;

}

//dfs找增加的流的量

int dfs(int now,int t,int limit)//limit为源点到这个点的路径上的最小边权

{

    if (!limit || now==t) return limit;

    int flow=0,f;

    for (int i=cur[now]; i!=-1; i=edge[i].next)

    {

        cur[now]=i;

        if (deep[edge[i].to]==deep[now]+1 && (f=dfs(edge[i].to,t,min(limit,edge[i].dis))))

        {

            flow+=f;

            limit-=f;

            edge[i].dis-=f;

            edge[i^1].dis+=f;

            if (!limit) break;

        }

    }

    return flow;

}

void Dinic(int s,int t)

{

    while (bfs(s,t))

        maxflow+=dfs(s,t,inf);

}

/***********************************************/

signed main()

{

    int u,v,m,w,t;

    scanf("%lld",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%lld%lld",&n,&m);

        for(int i=0; i<=n; i++) eg1[i].clear(),eg2[i].clear();

        for(int i=0; i<m; i++)

        {

            scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);

            add1(u,v,w);

            add2(v,u,w);

        }

        Dijkstra1(1);

        Dijkstra2(n);

        memset(head,-1,sizeof(head));

        for(int i=1; i<=n; i++)

        {

            int sz=eg1[i].size();

            for(int j=0; j<sz; j++)

            {

                if(dis1[i]+eg1[i][j].w+dis2[eg1[i][j].p]==dis1[n])

                {

                    add_edge(i,eg1[i][j].p,eg1[i][j].w,1);

                    add_edge(eg1[i][j].p,i,eg1[i][j].w,0);

                }

            }

        }

        maxflow=0;

        Dinic(1,n);

        printf("%lld\n",maxflow);

    }

    return 0;

}

巴特西

2019 Multi-University Training Contest 1 E Path（最短路+最小割）

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思路

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