题解 P3369 【【模板】普通平衡树】

在网上某篇神奇的教程和@codesonic 大佬的标程帮助下，我又肝完了Leafy Tree，跑过来写篇题解（好像以前写过一篇？）

什么是Leafy Tree?

Leafy Tree由两种节点组成：辅助节点与叶子节点。

叶子节点储存值，而辅助节点储存左右孩子中大的那个值。

注意：辅助节点必定有两个孩子。

操作如何实现？

拿插入操作举例：

一路向下递归，每次拿左子树最大值与插入值作比较，如果大就往左，如果小就往右。

到底了就插入叶子与辅助。

然后再回溯更新。

这时候就会出一个问题：这个算法很容易被数据卡。

解决方案是引入平衡因子，在适当的时候重建这颗树。

重构方法可以拍扁也可以旋转。

拍扁的方法就是中序遍历一遍然后重新建树(具体可以参考这里)，旋转的一会儿会讲。

工具函数

这里是一些~~简单的~~重要的工具函数。

新建节点

inline void newNode(int &pos,int v){

	pos=++cnt,size[pos]=1,val[pos]=v;

}

cnt是总结点个数，size是子树大小，val是值（废话）。

复制节点

inline void copyNode(int x,int y){

	size[x]=size[y],ls[x]=ls[y],rs[x]=rs[y],val[x]=val[y];

}

没什么好说的

合并节点

void merge(int l,int r){

	size[++cnt]=size[l]+size[r],val[cnt]=val[r],ls[cnt]=l,rs[cnt]=r;

}

旋转

void rotate(int pos,bool flag){

	if(flag){

		merge(ls[pos],ls[rs[pos]]);

		ls[pos]=cnt,rs[pos]=rs[rs[pos]];

	}else{

		merge(rs[ls[pos]],rs[pos]);

		rs[pos]=cnt,ls[pos]=ls[ls[pos]];

	}

}

这是重建依赖的旋转函数，左旋右旋看flag。

具体流程没什么好讲的，可以参考splay的左旋与右旋。

重建

void maintain(int pos){

	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(pos,0);

	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(pos,1);

	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(ls[pos],1),rotate(pos,0);

	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(rs[pos],0),rotate(pos,1);

}

这是重建函数，平衡因子就这题而言取4应该是最快的。

插入操作

void insert(int pos,int v){

	if(size[pos]==1){

		newNode(ls[pos],min(v,val[pos]));

		newNode(rs[pos],max(v,val[pos]));

		pushup(pos);

		return;

	}

	if(v>val[ls[pos]])insert(rs[pos],v);

	else insert(ls[pos],v);

	pushup(pos);

    maintain(pos);

}

思路就是之前讲的一路向下递归。

当子树大小为1的时候（到头了）就在底下新建两个节点，一个叶子一个辅助，然后回溯更新。

如果没到头的话就继续递归，然后递归完了就维护一下左右子树的平衡，看看需不需要重建。

删除操作

void erase(int pos,int v){

	if(size[pos]==1){

		if(ls[father]==pos)copyNode(father,rs[father]);

		else copyNode(father,ls[father]);

		return;

	}

	father=pos;

	if(v>val[ls[pos]])erase(rs[pos],v);

	else erase(ls[pos],v);

	pushup(pos);

	maintain(pos);

}

删除操作的思路和插入操作一样，一路向下。

需要说明的是father是我们记录的父亲（也可以不这样而是通过传参解决）。

排名查询&排名对应数查询

int kth(int pos,int v){

	if(size[pos]==v)return val[pos];

	if(v>size[ls[pos]])return kth(rs[pos],v-size[ls[pos]]);

	return kth(ls[pos],v);

}

int rank(int pos,int v){

	if(size[pos]==1)return 1;

	if(v>val[ls[pos]])return rank(rs[pos],v)+size[ls[pos]];

	return rank(ls[pos],v);

}

这两个。。。写什么平衡树都会用到肯定大家都会。

然后好像就结束了（Leafy Tree本来码量就不高）

不开O2不加读优大概是311ms左右（竟然还没有我替罪羊树快），应该是写丑了吧。。。

代码如下：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=100100;

const int alpha=4;

int n,cnt,father,root;

int val[N<<2],size[N<<2],ls[N<<2],rs[N<<2];

inline void newNode(int &pos,int v){

	pos=++cnt,size[pos]=1,val[pos]=v;

}

inline void copyNode(int x,int y){

	size[x]=size[y],ls[x]=ls[y],rs[x]=rs[y],val[x]=val[y];

}

void merge(int l,int r){

	size[++cnt]=size[l]+size[r],val[cnt]=val[r],ls[cnt]=l,rs[cnt]=r;

}

void rotate(int pos,bool flag){

	if(flag){

		merge(ls[pos],ls[rs[pos]]);

		ls[pos]=cnt,rs[pos]=rs[rs[pos]];

	}else{

		merge(rs[ls[pos]],rs[pos]);

		rs[pos]=cnt,ls[pos]=ls[ls[pos]];

	}

}

void maintain(int pos){

	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(pos,0);

	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(pos,1);

	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(ls[pos],1),rotate(pos,0);

	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(rs[pos],0),rotate(pos,1);

}

void pushup(int pos){

	if(!size[ls[pos]])return;

	size[pos]=size[ls[pos]]+size[rs[pos]];

	val[pos]=val[rs[pos]];

}

void insert(int pos,int v){

	if(size[pos]==1){

		newNode(ls[pos],min(v,val[pos]));

		newNode(rs[pos],max(v,val[pos]));

		pushup(pos);

		return;

	}

	if(v>val[ls[pos]])insert(rs[pos],v);

	else insert(ls[pos],v);

	pushup(pos);

	maintain(pos);

}

void erase(int pos,int v){

	if(size[pos]==1){

		if(ls[father]==pos)copyNode(father,rs[father]);

		else copyNode(father,ls[father]);

		return;

	}

	father=pos;

	if(v>val[ls[pos]])erase(rs[pos],v);

	else erase(ls[pos],v);

	pushup(pos);

	maintain(pos);

}

int kth(int pos,int v){

	if(size[pos]==v)return val[pos];

	if(v>size[ls[pos]])return kth(rs[pos],v-size[ls[pos]]);

	return kth(ls[pos],v);

}

int rank(int pos,int v){

	if(size[pos]==1)return 1;

	if(v>val[ls[pos]])return rank(rs[pos],v)+size[ls[pos]];

	return rank(ls[pos],v);

}

int main(){

    scanf("%d",&n);

    newNode(root,2147483647);

    while(n--){

        int s,a;

        scanf("%d%d",&s,&a);

        if(s==1)insert(root,a);

        if(s==2)erase(root,a);

        if(s==3)printf("%d\n",rank(root,a));

        if(s==4)printf("%d\n",kth(root,a));

        if(s==5)printf("%d\n",kth(root,rank(root,a)-1));

        if(s==6)printf("%d\n",kth(root,rank(root,a+1)));

    }

}

巴特西