删除操作

删除操作比较复杂，主要是因为删除的项可能在叶子节点上也可能在非叶子节点上，而且删除后可能导致不符合B树的规定，这里暂且称之为导致B树不平衡，于是要进行一些合并、左旋、右旋等操作，使之符合B树的规定（即让B树平衡）。另外，如果是删除非叶子节点项需要先找到中序前驱来替换。

情况一

要删除的项在叶子节点上且不影响B树的平衡结构，比如删除“I”，从根节点开始查找，“I”大于“D”，往第二个分支，

逐一与节点内项的值进行比较，“I”大于“F”，继续比较，“I”大于“H”继续比较，“I”小于“K”，所以往第三个分支继续往下查找，

此时找到“I”，

直接删除“I”，完成删除操作。

情况二

要删除的项在叶子节点上，删除后打破平衡需要从右兄弟节点中借项，而且右兄弟节点有足够的项借给它。比如删除“G”，从根节点开始查找，“G”大于“D”，往右子树，

逐一比较节点内项的值，发现应该往第二个分支，

找到“G”，

此时发现“G”节点的右兄弟节点有项可以借给它，于是删除“G”，然后进行左旋操作，左旋即原来的父节点“H”下移到左子节点填补原来的“G”节点，右子节点中最小值的项“I”提升到父节点，最终如下，

完成删除操作。

情况三

要删除的项在叶子节点上，删除后打破平衡需要从左兄弟节点中借项，而且左兄弟节点有足够的项借给它。比如删除“L”，从根节点开始查找，“L”大于“D”，往右子树，

逐一比较节点内项的值，发现应该往第四个分支，

找到“L”，

此时发现“L”节点的左兄弟节点有项可以借给它，于是删除“L”，然后进行右旋，右旋即原来的父节点“K”下移到右子节点填补原来的“L”节点，左子节点中最大值的项“J”提升到父节点，最终如下，

完成删除操作。

情况四

要删除的项在叶子节点上，删除后打破平衡，而且左右兄弟节点都没有项可以借给它。比如删除“G”，从根节点开始查找，“G”大于“D”，往右子树，

逐一比较节点内项的值，发现应该往第二个分支，

找到“G”，

此时发现“G”节点删除掉后，左右兄弟节点都无法借项给它，执行合并操作，

合并操作主要是将父节点对应的项“F”下移到左子节点中，同时也将右子节点中剩余的项全部也移到左子节点中（注意这里右子节点删除“G”项后已无其他项），最终结果如下，完成删除操作。

需要注意的是如果执行合并操作后使父节点不平衡，则需要继续对父节点继续进行平衡处理。比如下面的例子，需要删除“C”项，从根节点开始于“D”比较，小于“D”则往往第一个分支，

逐一与子节点内的项比较，“C”大于“B”则往第二个分支，

找到“C”，

此时发现“C”项删除掉后，左右兄弟节点都无法借项给它，

执行合并操作，将父节点对应的项“B”下移到左子节点中，同时也将右子节点中剩余的项全部也移到左子节点中，合并后结果如下，父节点已经变成空了，树不平衡，

此时父节点的右兄弟节点可以借项给它，即执行左旋操作，父节点的父节点“D”下移到父节点，父节点的兄弟节点的最左边项“F”上升，

另外，左旋操作还包括要将移动项“F”对应节点的第一个分支（即“E”）移到父节点“D”的最右分支，最终结果如下，

情况五

要删除的项在非叶子节点上。比如删除“M”，从根节点开始查找，“M”大于“H”，往第二个分支，

逐一比较子节点内的项，找到“M”，

非叶子节点项的删除的第一步就是要先找到对应的中序前驱，即第一个分支子节点中最大值的项，

然后一直往最后一个分支找，最终找到“L”为前驱，将其提升到待删除项“M”的位置，导致了树不平衡，但它发现兄弟节点可以借项给它，

于是进行右旋操作，父节点“K”下移到原来前驱的位置，左兄弟节点最右边的项“J”提升到父节点，另外如果左兄弟节点“J”项有右子节点的话，也需要挂到“K”节点的左边。最终完成删除操作。

除此之外，再看看删除根节点的情况，删除只有一个项的根节点，比如删除“D”，

先找中序前驱，即第一个分支子节点中最大值的项，

一直往最后一个分支找，最终找到“C”为前驱，将其提升到根节点中，

此时引起不平衡，而且原来“C”节点的左右兄弟节点都无法借项给它，

此时只能做合并处理，将父节点的项“B”下移到左子节点，合并后原来的父节点变为空，产生了不平衡，此时它的兄弟节点可以借项给它，所以需要执行左旋操作，

左旋即将“C”下移，“F”提升，

而且还要将“E”项挂到“C”节点上，最终如下。