【LuoguP5004】 专心OI - 跳房子
2024-08-30 10:03:15
首先这是一道计数类DP,那我们得先推式子,经过瞎掰乱凑,经过认真分析,我们可以得到这样的方程
F(N)=F(0)+F(1)+....+F(N-M-1)
所有F初值为1,F(1)=2
ANS=F(N+M);
那显然我们有这样的代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int M=1e9+;
using namespace std;
inline int read(){
char chr=getchar(); int f=,ans=;
while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
return ans*f;
}
void write(int x){
if(x<) putchar('-'),x=-x;
if(x>) write(x/);
putchar(x%+'');
}int n,m,f[];
int main(){
n=read(),m=read();
f[]=;f[]=;
for(int i=;i<=n+m;i++){
f[i]=;
for(int j=;j<=i-m-;j++)
if(f[i]+f[j]>M) f[i]=f[i]+f[j]-M;
else f[i]=f[i]+f[j];//卡一波时间
}cout<<f[n+m];
return ;
}
显然这是O(n^2)的算法,然而面对N=1e18,这个算法可以去优化见鬼了,这样子由于语句比较简单,勉强可以过十万的数据大概30分
考虑优化:
我们先看一下上面的式子,尝试对这个式子变形...好吧,其实就是迭代,然后用鸽笼原理一通乱搞:
F(N)=F(N-1)+F(N-M-1)
ANS=F(N)
好了我们把这个东西优化得到了O(N)的算法:
期望得分:50pts
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int M=1e9+;
using namespace std;
inline int read(){
char chr=getchar(); int f=,ans=;
while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
return ans*f;
}
void write(int x){
if(x<) putchar('-'),x=-x;
if(x>) write(x/);
putchar(x%+'');
}int n,m,f[];
int main(){
n=read(),m=read();
f[]=;f[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
f[i]=(f[i-]+f[max(i-m-,)])%M;
cout<<f[n];
return ;
}
考虑继续优化
某个大佬说过1e18的数据考虑logn的算法,比如快速幂。
这既然是DP,那自然往矩阵乘法考虑。
考虑构造矩阵:m这么小,而且递推式中出现的常量只有m,显然矩阵的大小要往m*m考虑
m=1的时候斐波那契,显然不用我推了
看一下其他情况:
得到通式(写了的是1,其他是0):
然后会矩阵加速的同学都知道该怎么做了吧...
// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define int long long
const int M=1e9+;
using namespace std;
inline int read(){
char chr=getchar(); int f=,ans=;
while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-;chr=getchar();}
while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<)+(ans<<);ans+=chr-'';chr=getchar();}
return ans*f;
}
void write(int x){
if(x<) putchar('-'),x=-x;
if(x>) write(x/);
putchar(x%+'');
}int n,m;
struct P{int a[][];P(){memset(a,,sizeof(a));}}A,B;
P operator *(const P &x,const P &y){
P ans;
for(int i=;i<m;i++)
for(int k=;k<m;k++)
for(int j=;j<m;j++)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%M;
return ans;
}
void KSM(int n){
while(n){
if(n&) B=B*A;
n>>=;A=A*A;
}
}
inline void init(){
n=read(),m=read();--n,++m;
A.a[m-][m-]=A.a[][m-]=;
for(int i=;i<m-;i++) A.a[i+][i]=;//初始矩阵
for(int i=;i<m;i++)B.a[][i]=i+;
}
signed main(){
init();KSM(n);
write(B.a[][]);
return ;
}
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