Respecting causality is all you need for training physics-informed neural networks

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本篇工作时关于连续时间的PDE。也是从因果关系的角度入手，最近看过几篇该作者的工作。（简而言之就是从初始条件方向开始训练）

目前的PINN框架缺乏尊重物理系统演化所固有的时空因果结构。因此，作者提出PINNs损失函数的简单再表述来解决上述问题。并且这个函数可以在模型训练期间明确解释物理因果关系。并将它用作评估PINN收敛的一种机制。

首先，作者表明，目前的通过梯度下降训练连续时间的PINN，可能会隐含地偏向于在稍后的时间，甚至在解决初始条件之前就首先逼近PDE的解，这严重违反了时间因果关系。尤其当目标函数表现出对初始数据强烈的依赖性（混沌系统）时，就很容易失败。通过一个简单地例子描述一下：

one-dimensional Allen-Cahn equation

将边界条件作为硬约束。下图是作者的结果，经典的PINN无法处理好这个问题。

原始的PINN应该也可以求解，下图是我去原始PINN中找到的。

为什么PINN会失败呢？作者通过分析损失函数给出了解释。

一开始，定义一个时间残差损失，即在某个时间点，在该点的所有空间残差损失的平均。如下。

那么，PINN的总损失就可以写成

借助切线核理论，进一步离散损失，就可以得到下式。

离散后的损失告诉我们，如果我们想要最小化在某个时间点的时间残差损失，我们需要准确地预测该点的u和前一时刻的u，而在PINN的框架中，我们将对整个时空域内的u同时进行最小化。这就违反了时间因果关系，使得PINN的收敛性受到影响。只有在前一时刻PINN的模型得到好的优化的时候，小幅度后的PINN残差最小化才有意义。

根据下图，我们可以看到，原始PINN更容易关注远离初始条件的位置。

根据上述的观察，作者提出了PINN的因果训练，通过对损失函数的重新表述来使得PINN满足因果规律。具体地说，就是给每个时间残差损失前添加一个权重，如下。

作者希望，在ti被充分最小化前，它以及它之前时刻的权重都应该很大，它们之后的权重要很小。通过下式的权重选择实现这个目标。

那么总损失就可以写成

这就可以从时间小的开始训练。当时我的疑惑是：网络收敛会很难吧。当优化到中间时，如果前面有学不好了，那么网络就会重新训练前面，会导致收敛上的困难吧？需要去调参设计吧，后面作者使用退火算法来解决。

可以看到改进后可以找到正确的解了。

并且，根据下图，还可以发现一个规律。训练刚开始的时候，除了0时刻，其余时刻权重全是0。也就是网络先学习初始条件附近的。随着训练的进行，权重会逐渐的释放，并且终会收敛到1。

这就可以为训练PINN提供收敛标准，当所有权重趋于1时，PINN训练完成。实际中可以人为选取一个小于1的阈值来停止训练。停止条件如下。

关于因果参数的敏感性，也就是我上面的疑惑，作者做了消融。发现因果参数太小的会阻止网络有效最小化后面的时间残差，太大会导致训练困难。因为前面的时间残差要充分小才能激活后面的时间权重。所以作者使用一组递增因果参数进行训练，虽然会导致计算量的增加，但是避免了人工干预的繁琐。此外作者还提出了一个改进的MLP结构，具体的解释将在另一篇论文中，暂时还没有去看。

实验结果如下

实验结果还是很好的，有效的解决了远离初始位置训练不好的问题。

巴特西

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