卢卡斯定理&&中国剩余定理
2024-09-02 20:37:06
卢卡斯定理(模数较小,且是质数)
式子C(m,n)=C(m/p,n/p)*C(m%p,n%p)%p
至于证明(我也不会QAQ,只要记住公式也该就好了)。
同时卢卡斯定理一般用于组合数取模上
1.首先当组合数取得模较大时,我们可以使用卢卡斯,也可以直接求
(只要数据范围不是很大,还能开得起数组,我们可以直接预处理出阶乘,逆元,需要时O(1)求,当然要是质数,不然只能现求)。
2.当组合数的模很小时,我们只能用卢卡斯,
我们可以发现假如我们照旧求的话,可能有的阶乘直接被消成0了
这个时候直接用阶乘会不准确,那么只能lusca了
3.模数非质数时,例如多个质数相乘,我们先用质因数分解,在用中国剩余定理即可。
1 ll pow(ll x,ll y,ll mod)
2 {
3 ll ans=1;
4 if(y==0)return 1;
5 while(y)
6 {
7 if(y&1)ans=ans*x%mod;
8 x=x*x%mod;
9 y>>=1;
10 }
11 return ans%mod;
12 }
13 ll C(ll x,ll y,ll mod)
14 {
15 if(y>x)return 0;
16 if(y==0)return 1;
17 return jie[x]*pow(jie[y]*jie[x-y]%mod,mod-2,mod)%mod;
18 }
19 ll lus(ll x,ll y,ll mod)
20 {
21 if(y>x)return 0;
22 if(y==0)return 1;
23 return lus(x/mod,y/mod,mod)*C(x%mod,y%mod,mod)%mod;
24 }
卢卡斯模板
中国剩余定理:
设m1,m2,m3,m4....mk两两互素,则同余方程组
x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
x≡a3(mod m3)
x≡a4(mod m4)
x≡ak(mod mk)
一定有解,x≡(a1*M1*M1^(-1)+a2*M2*M2^(-1)+....)(mod M)
其中M=m1*m2*m3*....mk,Mi=M/mi,Mi^(-1)是Mi在模mi意义下的逆元。
至于证明自己可以在书上看了。。。。
代码
1 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
2 {
3 if(b==0){
4 x=1;y=0;return ;
5 }
6 exgcd(b,a%b,x,y);
7 ll z=x;x=y;y=z-(a/b)*y;
8 return ;
9 }
10 ll sum;ll len=1;
11 void CRT()
12 {
13 for(ll i=0;i<su.size();++i)
14 {
15 len*=su[i];
16 //printf("%lld\n",len);
17 }
18 for(ll i=0;i<su.size();++i)
19 {
20 M[i]=len/su[i];
21 }
22 for(ll i=0;i<su.size();++i)
23 {
24 ll x,y;
25 exgcd(M[i],su[i],x,y);
26 x=(x+su[i])%su[i];
27 sum=(sum+ans[i]*M[i]*x)%len;
28 //printf("sum=%lld ans=%lld M=%lld x=%lld\n",sum,ans[i],M[i],x);
29 }
30 printf("%lld\n",sum);
31 }
m=∏ni=1mi,Mi=m/mi
m=∏ni=1mi,Mi=m/mim=∏ni=1mi,Mi=m/mi
m=∏ni=1mi,Mi=m/mi
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