Codeforces #447 Div2 E

#447 Div2 E

题意

给出一个由有向边构成的图，每条边上有蘑菇，假设有 \(n\) 个蘑菇，那么第一次走过这条边可以获得 \(n\) 个蘑菇，第二次 \(n-1\)，第三次 \(n-1-2\)，第四次 \(n-1-2-3\)，后面类推，直至为 \(0\)。问从选定点出发最多可以获得几个蘑菇。

分析

Tarjan 算法缩点，重新给点标号（缩点），且保证了拓扑排序中靠后的点先标号，对于缩完点后的有向无环图，DP去求最长路。（对于拓扑排序后的序列，根据拓扑排序的性质，可以从后往前DP）

拓扑排序保证了：对于有向边 \(a-b\)，\(a\) 一定在 \(b\) 前面。

code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2e6 + 10;

struct Edge {

    int v, w, nxt;

}e[N];

int head[N], cnt;

void addEdge(int u, int v, int w) {

    e[cnt].v = v;

    e[cnt].w = w;

    e[cnt].nxt = head[u];

    head[u] = cnt++;

}

int n, m, c, nn, vis[N], dfn[N], low[N];

int f[N]; // 被缩成的新点的序号

ll sup[N]; // 这个新点能提供的贡献

stack<int> sta;

vector<int> G[N];

void tarjan(int u) { // 找强连通分量

    sta.push(u);

    dfn[u] = low[u] = ++c;

    vis[u] = 1;

    for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt) {

        int v = e[i].v;

        if(!dfn[v]) {

            tarjan(v);

            low[u] = min(low[u], low[v]);

        } else if(vis[v] && low[u] > dfn[v]) {

            low[u] = dfn[v];

        }

    }

    if(low[u] == dfn[u]) {

        ++nn;

        while(1) {

            int id = sta.top();

            G[nn].push_back(id);

            f[id] = nn;

            sta.pop();

            vis[id] = 0;

            if(id == u) break;

        }

    }

}

ll calc(int w) {

    int d = sqrt(2 * w);

    while(d * d + d > 2 * w) d--;

    return 1LL * w * (d + 1) - (1LL * d * (d + 1) * (2 * d + 1) / 6 + d * (d + 1) / 2) / 2;

}

ll dp[N];

int main() {

    memset(head, -1, sizeof head);

    scanf("%d%d", &n, &m);

    for(int i = 0; i < m; i++) {

        int u, v, w;

        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);

        addEdge(u, v, w);

    }

    nn = n;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {

        if(!dfn[i]) tarjan(i);

    }

    // 计算每个强连通分量缩成的点能提供的贡献

    for(int i = 1; i <= n; i++) {

        for(int j = head[i]; ~j; j = e[j].nxt) {

            int v = e[j].v;

            if(f[i] == f[v]) sup[f[i]] += calc(e[j].w);

        }

    }

    int s;

    scanf("%d", &s);

    s = f[s];

    for(int i = n + 1; i <= nn; i++) {

        for(int j = 0; j < G[i].size(); j++) {

            int q = G[i][j];

            for(int p = head[q]; ~p; p = e[p].nxt) {

                int v = e[p].v;

                if(f[q] != f[v])

                    dp[i] = max(dp[i], dp[f[v]] + sup[f[v]] + e[p].w);

            }

        }

    }

    cout << sup[s] + dp[s] << endl;

    return 0;

}

巴特西

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