历届试题 小数第n位
2024-08-29 22:57:20
问题描述
我们知道,整数做除法时,有时得到有限小数,有时得到无限循环小数。
如果我们把有限小数的末尾加上无限多个0,它们就有了统一的形式。
如果我们把有限小数的末尾加上无限多个0,它们就有了统一的形式。
本题的任务是:在上面的约定下,求整数除法小数点后的第n位开始的3位数。
输入格式
一行三个整数:a b n,用空格分开。a是被除数,b是除数,n是所求的小数后位置(0<a,b,n<1000000000)
输出格式
一行3位数字,表示:a除以b,小数后第n位开始的3位数字。
样例输入
1 8 1
样例输出
125
样例输入
1 8 3
样例输出
500
样例输入
282866 999000 6
样例输出
914
思路:我们以3/7举例,下面是手写的常规除法的计算过程。
比如n=4时,我们计算的是小数第四位,那么很明显就是40除于7的值,所以我们只需要知道第四位小数对应的哪个被除数是谁就行,用变量sa表示被除数,则第一位小数就是sa/7,余数就是下一个小数对应的被除数,那么用余数更新sa,一次类推可以计算出所有的小数,注意上图第一个被除数30如果在下面再次出现则容易知道接下来会重复计算,意味着产生循环节,所以我们可以通过循环节长度更新n,降低时间复杂度。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main()
{
int a,b,n;
int sa;
cin >> a >> b >> n;
sa=a%b;//初始化sa,sa是求每次相除的余数
for(int i=;i<=n;i++){
sa=sa%b*;//在本轮循环相除后余数发生改变
//cout << sa <<" "<<sa%b <<" "<<a%b << endl;
if(sa%b==a%b){//如果下一次循环(注意sa%b是下一次循环的余数)的余数 等于初始的余数,说明接下来的循环或重复之前的计算
n%=i;//n缩小(这是降低时间复杂度的关键) ,
i=;//重新开始遍历
}
}
for(int i=;i<=;i++){
cout << sa/b;//输出该位置计算结果 ,注意如果是有限小数切sa=0时,接下来都是输出0
sa=sa%b*;//下一次计算的余数
}
return ;
}
但是仔细一想上个代码其实是不完全正确的,或不完美的,虽然可以通过测试系统,因为上个代码默认循环节的第一个数字就是小数点后的第一个数字,但是很许多循环小数并非如此
这是第三个测试用例相除的结果,发现循环节是149,从第四个数字开始,如果我们要查询结果数亿之后的某个数的后三位,上个代码明显超时,所以需考虑循环节不在第一位的情况,
在上个代码上修改如下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t=;
int array[];
int compare(int m)//得到循环节开始的下标
{
for(int i=;i<t;i++){
if(array[i]==m) return i;//此时第二个循环节的第一个数字遇到第一个循环节的第一个数字,返回第一个循环节开始的下标 }
return ;
}
int main()
{
int a,b,n;
int sa;
cin >> a >> b >> n;
int m=;//表示还没遇到循环节
int num=; memset(array,,sizeof(array));
sa=a%b;//初始化sa,sa是求每次相除的余数
for(int i=;i<=n;i++){
if(m== && i!=) array[t++]=sa%b;
if(m== && i==) array[t++]=sa;
sa=sa%b*;//在本轮循环相除后余数发生改变
if(m==)
{
int aa=sa%b;
num=compare(aa);
// cout << num << endl;
}
if(num!=&&m!=){
n%=(i-num+);
n+=(num-);
i=;
m=;
}
//if(nu)
}
for(int i=;i<=;i++){
cout << sa/b;//输出该位置计算结果 ,注意如果是有限小数切sa=0时,接下来都是输出0
sa=sa%b*;//下一次计算的余数
}
return ;
}
下面的小demo是计算循环节的,根据上个代码衍生出来的
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t=;
int array[];
int compare(int m)//得到循环节开始的下标
{
for(int i=;i<t;i++){
if(array[i]==m) return i;//此时第二个循环节的第一个数字遇到第一个循环节的第一个数字,返回第一个循环节开始的下标 }
return ;
}
int main()
{
//freopen("D:/Data.txt","r",stdin);
int a,b;
int sa;
cin >> a >> b;
int num=;
memset(array,,sizeof(array));
sa=a%b;
for(int i=;i<;i++){
if(sa%b==) {t=; break;}
if(i!=) array[t++]=sa%b;
if(i==) array[t++]=sa;
sa=sa%b*;
int aa=sa%b;
num=compare(aa);
if(num!=) break; }
if(t==) cout << "不存在循环节" << endl;
else{
sa=a%b;
for(int i=;i<=t;i++){
if(i>num) cout << sa/b;//输出该位置计算结果 ,注意如果是有限小数切sa=0时,接下来都是输出0
sa=sa%b*;//下一次计算的余数
}
}
return ;
}
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