P2496 [SDOI2012]体育课
2024-10-07 03:37:48
分块
对每个块维护一个 $add$ 和 $del$ 标记,对于块 $o$ 内某个位置 $i$,它真实的修改量为 $a[i]+add[o]*i-del[o]$
这样就可以维护一个区间加一个等差数列的操作了
对于操作 $2$,交换两个位置,直接把两个位置的块标记下传,然后直接交换
对于操作 $1$,考虑到相同的块内 $add$ 只会越来越大,对于某个位置 $i$,它一开始是最大的位置,随着标记的增加,比它大的位置显然一定在它右边
所以考虑维护一个数列,使得数列相邻两个位置中,一旦左边的被超越,下一个可能的最大值就是右边下一个
我一开始天真地以为直接维护一个单调数列即可,然后搞了半天发现是错的,如图:
对于这种情况,当 $a[j]$ 还没超过 $a[i]$ 时,$a[k]$ 可能已经超过 $a[i]$ 了,所以我们不能把 $a[j]$ 放到数列里,不然就无法保证单调性
事实上,我们需要维护的是所有点对 $(x,a[x])$ 构成的上凸包,具体理由如下:
对于某个位置 $i$,如果 $a[i]$ 被超越,那么对于下一个位置 $k$ ,$i,k$ 之间必须不存在 $j$,使得
$a[i]+add*i-del>a[j]+add*j-del$ 并且 $a[k]+add*k-del>a[i]+add*i-del$
即 $(a[i]-a[j])/(i-j)<-add$ 且 $(a[i]-a[k])/(i-k)>-add$
即 $(a[i]-a[k])/(i-k)>(a[i]-a[j])/(i-j)$,发现左右两边其实就是连线的斜率,所以即维护一个上凸包
具体实现起来还是有一些细节的
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'') { if(ch=='-') f=-; ch=getchar(); }
while(ch>=''&&ch<='') { x=(x<<)+(x<<)+(ch^); ch=getchar(); }
return x*f;
}
const int N=2e5+,M=;
int n,m;
int bel[N],L[M],pos[M];
ll a[N],add[M],del[M];
vector <int> st[M];
inline void push_down(int o)
{
for(int i=L[o];i<L[o+];i++) a[i]+=add[o]*i-del[o];
add[o]=del[o]=pos[o]=; st[o].clear();
}
inline ll calc(int i,int o) { return a[i]+add[o]*i-del[o]; }
inline void upd(int o)
{
while(pos[o]<st[o].size()- && calc(st[o][pos[o]],o)<=calc(st[o][pos[o]+],o) ) pos[o]++;
}
inline void build(int o)
{
for(int i=L[o];i<L[o+];st[o].push_back(i),i++)
while(st[o].size()> &&
(a[i]-a[st[o][st[o].size()-]])*(st[o][st[o].size()-]-st[o][st[o].size()-]) >=
(a[st[o][st[o].size()-]]-a[st[o][st[o].size()-]])*(i-st[o][st[o].size()-]) ) st[o].pop_back();
upd(o);
}
inline void query(int l,int r)
{
int bl=bel[l-]+,br=bel[r+]-; ll res=;
if(bl>br)
{
for(int i=l;i<=r;i++) res=max(res, calc(i,bel[i]) );
printf("%lld\n",max(0ll,res-calc(,))); return;
}
for(int i=l;i<L[bl];i++) res=max(res, calc(i,bel[i]) );
for(int i=L[br+];i<=r;i++) res=max(res, calc(i,bel[i]) );
for(int i=bl;i<=br;i++) res=max(res, calc(st[i][pos[i]],i) );
printf("%lld\n",max(0ll,res-calc(,)));
}
inline void Swap(int x,int y)
{
push_down(bel[x]); push_down(bel[y]);
swap(a[x],a[y]);
build(bel[x]); build(bel[y]);
}
inline void change(int l,int r,int t)
{
int bl=bel[l-]+,br=bel[r+]-;
if(bl>br)
{
push_down(bel[l]); push_down(bel[r]);
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]+=1ll*(i-l+)*t;
build(bel[l]); build(bel[r]); return;
}
if(L[bl]!=l)
{
for(int i=l;i<L[bl];i++) a[i]+=1ll*(i-l+)*t;
push_down(bl-); build(bl-);
}
if(L[br+]-!=r)
{
for(int i=L[br+];i<=r;i++) a[i]+=1ll*(i-l+)*t;
push_down(br+); build(br+);
}
for(int i=bl;i<=br;i++) add[i]+=t,del[i]+=1ll*(l-)*t,upd(i);
}
int main()
{
n=read(),m=read(); int T=sqrt(n)+;
for(int i=;i<=n;i++)
{
a[i]=read(); bel[i]=(i-)/T+;
if(bel[i]!=bel[i-]) L[bel[i]]=i;
}
bel[n+]=bel[n]+; L[bel[n+]]=n+;
for(int i=;i<=bel[n];i++) build(i);
int opt,a,b;
for(int i=;i<=m;i++)
{
opt=read(); a=read(),b=read();
if(opt==) { query(a,b); continue; }
if(opt==) { Swap(a,b); continue; }
change(a,b,read());
}
return ;
}
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