HGOI20191115 模拟赛题解

Problem A 表演

有$n$个有点权的点，$m$个有边权的边。对于每个点$u$，输出从这个点出发到$v$，其路径权值的两倍加上v的点权和最小的值。

对于$100\%$的数据，满足$1 \leq n,m \leq 2\times 10^5 $

Solution :

　　考虑一个简单的转移，$f[u]$表示点$u$的最小答案，最初$f[u]$ 为$u$的点权。

　　每一次更新，就是相邻的两个点$u,v$之间，用边权的两倍来更新答案。

　　如果在图上DP，那么就相当于，将初始这些点权加入priority_queue，跑最短路即可。

　　时间复杂度为$O(m log_2 n)$

# include <bits/stdc++.h>

# define int long long

using namespace std;

const int N=2e5+;

struct rec{ int pre,to,w;}a[N<<];

int n,m,tot;

bool inq[N];

int head[N],d[N],val[N];

namespace Fast_IO {

    inline int read() {

        int x=,w=; char c=;

        while (c<''||c>'') w|=c=='-',c=getchar();

        while (c>='' && c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();

        return w?-x:x;

    }

    void write(int x) {

        if (x<) x=-x,putchar('-');

        if (x>) write(x/);

        putchar(''+x%);

    }

    void writeln(int x) {

        write(x); putchar('\n');

    }

};

using namespace Fast_IO;

void adde(int u,int v,int w) {

    a[++tot].pre=head[u];

    a[tot].to=v;

    a[tot].w=w*;

    head[u]=tot;

}

struct Node {

    int id,val;

};

struct cmp {

    bool operator () (Node a,Node b) {

        return a.val > b.val;

    }

};

priority_queue<Node,vector<Node>,cmp>q;

void dijkstra() {

    for (int i=;i<=n;i++) {

        d[i]=val[i];

        inq[i]=true;

        q.push((Node){i,val[i]});

    }

    while (q.size()) {

        int u=q.top().id; q.pop(); inq[u]=false;

        for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) {

            int v=a[i].to;

            if (d[v]>d[u]+a[i].w) {

                d[v]=d[u]+a[i].w;

                if (!inq[v]) q.push((Node){v,d[v]});

            }

        }

    }

}

signed main() {

    n=read();m=read();

    for (int i=;i<=m;i++) {

        int u=read(),v=read(),w=read();

        adde(u,v,w); adde(v,u,w);

    }

    for (int i=;i<=n;i++) val[i]=read();

    dijkstra();

    for (int i=;i<n;i++) write(d[i]),putchar(' ');

    writeln(d[n]);

    return ;

}

exciting.cpp

Problem B 逮虾户

　要求的车速是一个大于等于0的值，设第$i$次估计的车速为$v_i$,走的路程为$s_i$，

　设$v'$表示真实速度，则有偏差值$d$的定义式为 $d = v' - v_i$。

　考虑对速度的估计的偏差值d每一次都恒定。

　给出$n$次测算的结果$s_i , v_i$，和这几次测试总共的用时$t$，输出$d$的值。

　对于$100\%$的数据满足$1 \leq n\leq 10^3,1 \leq s_i \leq 10^3 , |v_i| \leq 10^3$

Solution :

　　考虑$t$这个函数是在$n+1$段不连续的定义域中单调减的。

　　所以，我们可以做$n+1$二分，就能找到些定义域中和d最相近的。

、　注意，最后统计答案的时候，需要check一下实际车速大于等于0.

　　时间复杂度为$O(n ^2 log_2 S)$，其中$S$表示确定实数域大小。

# include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e3+;

const double eps = 1e-;

struct rec{double s,v;}a[N];

int n,t;

vector<double>ans;

bool cmp (rec x, rec y) {

    return x.v>y.v;

}

double f (double x) {

    double res = ;

    for (int i=;i<=n;i++) res += (double)a[i].s/(double)(x+a[i].v);

    return res;

}

double work(double l,double r) {

    while (fabs(r-l)>=eps) {

        double mid = (l+r)/2.0;

        if (f(mid)<=t) r=mid;

        else l=mid;

    }

    return l;

}

double calc(double x) {

    return fabs(f(x)-t);

}

int main() {

    scanf("%d%d",&n,&t);

    for (int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].s,&a[i].v);

    sort(a+,a++n,cmp);

    double l=-1e9;

    for (int i=;i<=n;i++) {

        ans.push_back(work(l,-a[i].v-eps));

        l=-a[i].v+eps;

    }

    ans.push_back(work(l,1e9));

    double res = ans[], delta =calc(ans[]);

    for (int i=;i<ans.size();i++) {

        bool ok = true;

        for (int j=;j<=n;j++) if (a[j].v+ans[i]<eps) {

            ok = false; break;

        }

        if (!ok) continue;

        double tmp = calc(ans[i]);

        if (tmp <= delta) {

            res = ans[i]; delta = tmp;

        }

    }

    printf("%.10lf\n",res);

    return ;

}

dejavu.cpp

Problem C 跳一跳

　如果序列中任意相邻两个元素，都是极值点，其中一个是极大值点，另外一个极小值点。

　　那么这个序列叫做波浪序列。

　　给出对于长度为$n$序列，输出最长波浪序列的长度。

　　对于$100\%$的数据满足 $1 \leq n \leq 10^5 , 1 \leq a_i \leq 10^9 $

Solution :

　　由于元素只进行比较，所以我们可以将其离散化。

　　设$f[i][0]$表示第$i$个元素作为极小点为结尾的最长波浪序列长度，$f[i][1]$表示第$i$个元素作为极大点为结尾的最长波浪序列长度。

　　转移方程为：$f[i][0] = max(f[j][1] + 1) (a_i < a_j) , f[i][1] = max (f[j][0] + 1) (a_i > a_j)$

　　可以用值域线段树来维护这个$DP$。时间复杂度为$O(n log_2 n)$

# include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+;

int a[N],n,f[N][];

vector<int>tmp;

namespace Fast_IO {

    inline int read() {

        int x=,w=; char c=;

        while (c<''||c>'') w|=c=='-',c=getchar();

        while (c>='' && c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();

        return w?-x:x;

    }

    void write(int x) {

        if (x<) x=-x,putchar('-');

        if (x>) write(x/);

        putchar(''+x%);

    }

    void writeln(int x) {

        write(x); putchar('\n');

    }

};

using namespace Fast_IO;

struct Segment_Tree {

    int tr[N<<];

    # define ls (x<<)

    # define rs (x<<|)

    # define mid (l+r>>)

    # define lson ls,l,mid

    # define rson rs,mid+,r

    void update(int x,int l,int r,int pos,int opx) {

        if (l==r) {

            tr[x]=max(tr[x],opx);

            return;

        }

        if (pos<=mid) update(lson,pos,opx);

        else update(rson,pos,opx);

        tr[x]=max(tr[ls],tr[rs]);

    }

    int query(int x,int l,int r,int opl,int opr) {

        if (opl<=l && r<=opr) return tr[x];

        int ret=;

        if (opl<=mid) ret=max(ret,query(lson,opl,opr));

        if (opr>mid) ret=max(ret,query(rson,opl,opr));

        return ret;

    }

}tr0,tr1;

int main() {

    n=read();

    for (int i=;i<=n;i++) {

        tmp.push_back(a[i]=read());

    }

    sort(tmp.begin(),tmp.end());

    tmp.erase(unique(tmp.begin(),tmp.end()),tmp.end());

    int m = tmp.size();

    for (int i=;i<=n;i++) {

        a[i]=lower_bound(tmp.begin(),tmp.end(),a[i])-tmp.begin()+;

    }

    int ans = ;

    for (int i=;i<=n;i++) {

        f[i][]=f[i][]=;

        if (a[i]->=) f[i][] = max(f[i][],tr0.query(,,m,,a[i]-)+);

        if (a[i]+<=m) f[i][] = max(f[i][],tr1.query(,,m,a[i]+,m)+);

        ans = max(ans,max(f[i][],f[i][]));

        tr0.update(,,m,a[i],f[i][]);

        tr1.update(,,m,a[i],f[i][]);

    }

    writeln(ans);

    return ;

}

jump.cpp

巴特西

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