洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b （莫比乌斯反演+容斥）

题意：求$\sum_{i=a}^{b}\sum_{j=c}^{d}[gcd(i,j)==k]$（1<=a,b,c,d,k<=50000）。

是洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries加强版，多了下界。

设$f(n,m)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$

根据容斥可以显然的得出Ans=f(b,d)-f(b,c-1)-f(a-1,d)+f(a-1,c-1)。

对于f(n,m)的求解：

$f(n,m)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$
$=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)==1]$
$=\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\mu(d){\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor}$

预处理莫比乌斯函数前缀和，后面整除分块。

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int N=;

bool p[N];

int pri[N],tot,mu[N];

void init() {

    mu[]=;

    for(int i=;i<N;i++) {

        if(!p[i]) pri[tot++]=i,mu[i]=-;

        for(int j=;j<tot&&pri[j]*i<N;j++) {

            p[pri[j]*i]=true;

            if(i%pri[j]==) {

                mu[i*pri[j]]=;

                break;

            }

            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];

        }

    }

    for(int i=;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-];

}

ll cal(int n,int m,int k) {

    if(n>m) swap(n,m);

    ll ans=;

    for(int l=,r;l<=n;l=r+) {

        r=min(n/(n/l),m/(m/l));

        ans+=1LL*(mu[r]-mu[l-])*(n/k/l)*(m/k/l);

    }

    return ans;

}

int main() {

    init();

    int T,a,b,c,d,k;

    scanf("%d",&T);

    while(T--) {

        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);

        printf("%lld\n",cal(b,d,k)-cal(b,c-,k)-cal(a-,d,k)+cal(a-,c-,k));

    }

    return ;

}

巴特西

洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b （莫比乌斯反演+容斥）

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