I. 向量梯度

假设有一个映射函数为\(f:R^n→R^m\)和一个向量\(x=[x_1,...,x_n]^T∈R^n\),那么对应的函数值的向量为\(f(x)=[f_1(x),...,f_m(x)]^T∈R^m\)。

现在考虑\(f\)对\(x_i\)的梯度为:\(\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=[\frac{\partial{f_1}}{\partial{x_i}},...,\frac{\partial{f_m}}{\partial{x_i}}]^T∈R^m\)

所以有
\[
\begin{align}
\frac{df(x)}{dx}&=
\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial{f(x)}}{\partial{x_1}} & \cdots & \frac{\partial{f(x)}}{\partial{x_n}}
\end{matrix}
\right] \\
&=\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial{f_1(x)}}{\partial{x_1}} & \cdots & \frac{\partial{f_1(x)}}{\partial{x_n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial{f_m(x)}}{\partial{x_1}} & \cdots & \frac{\partial{f_m(x)}}{\partial{x_n}} \\
\end{matrix}
\right] ∈R^{m×n} \\
\end{align}
\]

接下来给出Jacobian定义:

\(f:R^n→R^m\)的所有一阶偏导集合叫做Jacobian。Jacobian J 是一个\(m×n\)的矩阵，形式定义如下：
\[
\begin{align}
J&=\nabla_xf=\frac{df(x)}{dx} \\
&=\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial{f(x)}}{\partial{x_1}} & \cdots & \frac{\partial{f(x)}}{\partial{x_n}}
\end{matrix}
\right] \\
&=\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial{f_1(x)}}{\partial{x_1}} & \cdots & \frac{\partial{f_1(x)}}{\partial{x_n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial{f_m(x)}}{\partial{x_1}} & \cdots & \frac{\partial{f_m(x)}}{\partial{x_n}} \\
\end{matrix}
\right] \\
x &= \left[
\begin{matrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right],\,\,\, J(i,j)=\frac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}
\end{align}
\]

II. 矩阵梯度

其实和向量梯度类似，这里不再给出推导过程，直接给出一些重要的结果：

如果\(f(x)∈R^{m×n},x∈R^{p×q}\),则\(\frac{\partial{f(x)}}{\partial{x}}∈R^{(m×n)×(p×q)}\)
在机器学习中常用到的计算公式：

III. 高阶梯度

上面提到的都是一阶梯度，在实际应用中会涉及到高阶梯度。而常见的有二阶梯度

海森矩阵(Hessian) 是一个多变量实值函数的二阶偏导数组成的方阵。其形式如下：

以下内容参考海森矩阵

1. 在映射 \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }\) 的应用

给定二阶导数连续的映射 \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }\)，海森矩阵的行列式，可用于分辨 \({\displaystyle f}\)的临界点是属于鞍点还是极值点。

对于 \({\displaystyle f}\) f的临界点 \({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\)一点，有 \({\displaystyle {\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}={\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=0}\)，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

\[{\displaystyle H={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{vmatrix}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}-({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}})^{2}}\]

H > 0：若 \({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}>0}\)，则 \({\displaystyle (x_{0},y_{0})})\)是局部极小点；若 \({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}<0}\)，则 \({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\)是局部极大点。
H < 0：\({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\)是鞍点。
H = 0：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

2. 在高维情况下的推广

当函数 \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }\) 二阶连续可导时，Hessian矩阵H在临界点 \({\displaystyle x_{0}}\) 上是一个 \({\displaystyle n\times n}\)阶的对称矩阵。

当H是正定矩阵时，临界点 \({\displaystyle x_{0}}\) 是一个局部的极小值。
当H是负定矩阵时，临界点 \({\displaystyle x_{0}}\) 是一个局部的极大值。
H=0,需要更高阶的导数来帮助判断。
在其余情况下，临界点 \({\displaystyle x_{0}}\) 不是局部极值

巴特西

【Math for ML】向量微积分(Vector Calculus)

I. 向量梯度

II. 矩阵梯度

III. 高阶梯度

1. 在映射 \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }\) 的应用

2. 在高维情况下的推广

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