<数据结构>图的最小生成树
2024-09-01 19:27:22
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最小生成树问题
最小生成树问题（Mininum Spanning Tree MST）： 在给定无向图中，确定一棵树T,满足三个条件：a.包含图的所有顶点；b.边都是图的边；c.整棵树的边权之和最小
MST的性质： 包含n-1个结点；连通；树不唯一（最小边权和唯一）
Prim算法：点贪心
基本思想：类Dijstra
与Dijstr思想类似，只不过d[]的含义不同
d[v]：v与已被标记的顶点构成的集合s的最短距离。
毕竟，要求的是最小生成树，而集合s中的顶点又都在树中，所以需要关注顶点v与集合s的最短距离而不是与源点s（根节点）的最短距离。
而用中介点（此时是结合s中的所有点而不是到源点s距离最小的点）优化其他点的思想就是Dijstra算法的内核，所以只需要改变Dijstra算法中d[]数组的含义，即可顺利实现Prim算法。
如对Dijstra算法不太熟悉，可参看：<数据结构>图的最短路径问题
伪代码
建议与Dijstra算法的伪代码进行比较阅读
Prim(G, d[]){
初始化;
for(循环n次){
u = 使d[u]最小的还未被访问的顶点的标号;
记u已被访问;
for(从u出发能到达的所有顶点v){
if(v未被访问&&以u为中介点使得v与**集合s**的最短距离d[v]更优){ //唯一与Dijstra算法不同之处
将G[u][v]赋值给v与集合s的最短距离d[v]；//将G[u][v]赋给d[v] 而不再是 d[u] + G[u][v]
}
}
}
}
代码实现
增加int ans记录边权和。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXV 100
#define INF 100000000
int n, G[MAXV][MAXV]; //邻接矩阵实现图G
int d[MAXV]; //顶点与集合s的最短距离
bool vis[MAXV] = {false};
int Prim(){
fill(d, d+MAXV*MAXV, INF);
d[0] = 0; //只有0号顶点与s距离为0，其余为INF
int ans = 0; //存放边权之和
for(int i = 0; i < n; i++){ //寻找 到集合s距离最短&&未被标记的顶点
int u = -1, MIN = INF;
for(int j = 0; j < n; j++){
if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
u = j;
MIN = d[j];
}
}
if(u == -1) return ; //图不全连通，无法构建最小生成树
vis[u] = true;
ans += d[u]; //边权增加
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问 && u能到达v && 以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && G[u][v] < d[v]){
d[v] = G[u][v];
}
}
}
return ans; //返回最小边权之和
}
复杂度分析：O(VlogV + E)
同Dijstra算法。
kruskal算法：边贪心
基本思想： 充分利用MST性质
遵循下述三个步骤：
- 对所有边按边权从小到大排序
- 按边权测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块，则把这条测试边加入最小生成树中；否则将边舍弃。
- 执行步骤2，直到树中的边数 == 顶点数-1。
伪代码
int kruskal(){
令最小生成树的边权之和为ans,最小生成树的当前边数为Num_Edge;
将所有边按边权从小到大排序;
for(从小到大枚举所有边){
if(当前测试边的两个端点在不同的连通块中){
将该测试边加入最小生成树;
ans += 测试边边权;
最小生成树的当前边数Num_Edge++;
当边数Num_Edge == 顶点数-1 时结束循环;
}
}
return ans;
}
关键要解决两个问题
- 将所有边按边权从小到大排序————>sort函数（自行定义cmp）
- 当前测试边的两个端点在不同的连通块中————>并查集（顺带可以完成“将该测试边加入最小生成树;”）
代码实现
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXV = 110;
const int MAXE = 10010;
//定义边集合
struct edge{
int u, v;
int cost;
}E[MAXE];
bool cmp(edge a, edge b){ //按边权从小到大
return a.cost < b.cost;
}
//并查集部分
int father[MAXV];
int findFather(int x){
int a = x;
while(x != father[x])
x = father[x];
//路径压缩：让x的子结点直接指向x，减少中间路径
while(a != father[a]){
int z = a;
a = father[a];
father[a] = x;
}
return x;
}
//kruskal部分，返回最小生成树的边权之和，参数n为顶点个数，m为图的边数
int kruskal(int n, int m){
//ans为所求边权之和，Num_Edge为当前生成树的边数
int ans = 0, Num_Edge = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){ //顶点范围是0-(n-1)
father[i] = i; //并查集初始化
}
sort(E, E+m, cmp); //所有边按边权从小到达排序
for(int i = 0; i < m; i++){ //枚举所有边
int faU = findFather(E[i].u); //查询两个端点所在的集合的根节点
int faV = findFather(E[i].v);
if(faU != faV){ //如果不在一个集合中
father[faU] = faV;//合并集合（即吧测试边加入最小生成树中）
ans += E[i].cost;//边权和增加
Num_Edge ++;//当前生成树的边数+1
if(Num_Edge == n-1) break; //边数 == n-1时结束算法
}
}
if(Num_Edge != n-1) return -1; //不连通时返回-1
else return ans;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m); //顶点数、边数
for(int i = 0; i < m; i++){
scanf("%d%d%d", &E[i].u,&E[i].v,&E[i].cost); //两端点编号， 边权
}
int ans = kruskal(n,m); //算法入口
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
复杂度分析：O(ElogE)
- 主要来源：sort()函数[O(ElogE)]；本质是快速排序
- 次要来源：一重for循环[O(E)]
算法选择
一般情况下
- Prim: 稠密图
- kruskal: 稀疏图
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