[TJOI2019]唱、跳、rap和篮球——容斥原理+生成函数

先附一组sd图

然后放上原题链接

注意，队伍不同指的是喜好不同，不是人不同

先想到$DP$，然后你会发现并没有什么优秀的状态设计，然后我们考虑容斥

设$lim$表示选的癌坤组数的上限，$f_i$为先选出来$i$组剩下随便排的方案数，那么答案就是

$\sum\limits_{i=0}^{lim}(-1)^i\times\ f_i$

于是问题转化为了求$f_i$。显然$f_i$可以表示为一个组合数再乘一个东西，具体来说组合数代表在$n$个同学中选$i$组癌坤的方案数，后面的那一部分代表满足限制的情况下把$n-4i$个人随便排的方案数

先考虑把组合数给搞出来，不难发现$i$组癌坤把$n$个同学分成了$i+1$段，这$i+1$段的长度之和为$n-4i$，由此我们可以得到以下不定方程

$x_1+x_2+...+x_{i+1}=n-4i$

那个组合数就是它的非负整数解个数，这是个经典问题，答案为$\binom{(n-4i)+(i+1)-1}{(i+1)-1}=\binom$

而后面那一部分的限制条件看起来用生成函数很好搞，同时还是个排列，考虑把$4$个$EGF$卷起来，最后后面那一部分的答案即为

$[x^{n-4i}]\sum\limits_{j=0}^{a-i}\frac{x^j}{j!}\sum\limits_{j=0}^{b-i}\frac{x^j}{j!}\sum\limits_{j=0}^{c-i}\frac{x^j}{j!}\sum\limits_{j=0}^{d-i}\frac{x^j}{j!}$

卷积一下就出来了

至此，我们已经得到了一个$O(n^2logn)$的大常数做法了，但是好像可以在$O(n)$时间内把后面那一部分求出来（可以参考其他题解）？

放上我的超丑代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 1000

#define MOD 998244353

int n, cnta, cntb, cntc, cntd, lim, C[N + 5][N + 5], fac[N + 5], facinv[N + 5];

int ans, a[8 * N + 5], b[8 * N + 5], c[8 * N + 5], d[8 * N + 5];

void add(int &x, int y) {

    x = (x + y) % MOD;

    if (x < 0) x + MOD;

}

int Add(int x, int y) {

    return ((x + y) % MOD + MOD) % MOD;

}

int Mul(int x, int y) {

    return (1LL * x * y % MOD + MOD) % MOD;

}

int fpow(int x, int p) {

    int ret = 1;

    while (p) {

        if (p & 1) ret = Mul(ret, x);

        x = Mul(x, x);

        p >>= 1;

    }

    return ret;

}

void bitReverse(int *s, int len, int bit) {

    int swp[8 * N + 5];

    for (int i = 1; i < len; ++i) {

        swp[i] = (swp[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1));

        if (i < swp[i]) swap(s[i], s[swp[i]]);

    }

}

void NTT(int *s, int len, int bit, int flag) {

    bitReverse(s, len, bit);

    for (int l = 2; l <= len; l <<= 1) {

        int mid = l >> 1, t = fpow(3, (MOD - 1) / l);

        if (flag == -1) t = fpow(t, MOD - 2);

        for (int *p = s; p != s + len; p += l) {

            int w = 1;

            for (int i = 0; i < mid; ++i) {

                int x = 1LL * w * p[i + mid] % MOD;

                p[i + mid] = (p[i] - x) % MOD;

                p[i] = (p[i] + x) % MOD;

                w = 1LL * w * t % MOD;

            }

        }

    }

    if (flag == -1) {

        int invlen = fpow(len, MOD - 2);

        for (int i = 0; i < len; ++i)

            s[i] = 1LL * s[i] * invlen % MOD;

    }

}

int main() {

    scanf("%d%d%d%d%d", &n, &cnta, &cntb, &cntc, &cntd);

    lim = min(n / 4, min(min(cnta, cntb), min(cntc, cntd)));

    for (int i = 0; i <= n; ++i) C[i][0] = 1;

    fac[0] = facinv[0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {

        for (int j = 1; j <= i; ++j)

            C[i][j] = Add(C[i - 1][j], C[i - 1][j - 1]);

        fac[i] = Mul(fac[i - 1], i);

        facinv[i] = fpow(fac[i], MOD - 2);

    }

    for (int i = 0, l1, l2, l3, l4, len, bit; i <= lim; ++i) {

        int conv;

        for (int j = 0; j <= 8 * N; ++j) a[j] = b[j] = c[j] = d[j] = 0;

        for (int j = 0; j <= cnta - i; ++j) a[j] = facinv[j];

        for (int j = 0; j <= cntb - i; ++j) b[j] = facinv[j];

        for (int j = 0; j <= cntc - i; ++j) c[j] = facinv[j];

        for (int j = 0; j <= cntd - i; ++j) d[j] = facinv[j];

        l1 = cnta - i + 1, l2 = cntb - i + 1, l3 = cntc - i + 1, l4 = cntd - i + 1;

        bit = 0;

        while ((1 << bit) < l1 + l2 - 1) bit++;

        len = 1 << bit;

        NTT(a, len, bit, 1), NTT(b, len, bit, 1);

        for (int j = 0; j < len; ++j) a[j] = Mul(a[j], b[j]);

        NTT(a, len, bit, -1);

        l1 = l1 + l2 - 1;

        bit = 0;

        while ((1 << bit) < l3 + l4 - 1) bit++;

        len = 1 << bit;

        NTT(c, len, bit, 1), NTT(d, len, bit, 1);

        for (int j = 0; j < len; ++j) c[j] = Mul(c[j], d[j]);

        NTT(c, len, bit, -1);

        l2 = l3 + l4 - 1;

        bit = 0;

        while ((1 << bit) < l1 + l2 - 1) bit++;

        len = 1 << bit;

        NTT(a, len, bit, 1), NTT(c, len, bit, 1);

        for (int j = 0; j < len; ++j) a[j] = Mul(a[j], c[j]);

        NTT(a, len, bit, -1);

        conv = a[n - 4 * i];

        if (i & 1) add(ans, -Mul(C[n - 3 * i][i], Mul(fac[n - 4 * i], conv)));

        else add(ans, Mul(C[n - 3 * i][i], Mul(fac[n - 4 * i], conv)));

    }

    while (ans < 0) ans += MOD;

    printf("%d\n", ans);

    return 0;

}

巴特西

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