Leetcode题目322.零钱兑换(动态规划-中等)
题目描述:
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。 示例 1: 输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2: 输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
思路:动态规划(https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/solution/dong-tai-gui-hua-suan-fa-si-xiang-by-hikes/)
假设你是个土豪,你有1,5,10,20,50,100的钞票,你要凑出666买瓶水喝,依据生活经验,我们一般采取这样的策略:能用100就用100的,否则就用50的,依此类推,在这种策略下,666=100*6 + 50 1 + 10 1 + 51 + 11, 一共用了10张钞票。
这种策略就称为 贪心策略 :贪心策略是在当前情况下做出最好的选择,根据需要凑出的金额来进行贪心,但是,如果我们换一组钞票面值,比如 1, 5, 11,我们要凑出15的时候, 贪心策略就会出错:
15 = 11 * 1 + 1 * 4 (贪心策略)
15 = 5 * 3(正确策略)
贪心策略哪里出错了?
鼠目寸光
重新分析刚刚的例子。w=15时,我们如果取11,接下来就面对w=4的情况;如果取5,则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式:“给定w,凑出w所用的最少钞票是多少张?” 接下来,我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。
那么,如果我们取了11,最后的代价(用掉的钞票总数)是多少呢?
明显 ,它的意义是:利用11来凑出15,付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。
依次类推,马上可以知道:如果我们用5来凑出15,cost就是f(10) + 1 = 2 + 1 = 3 。
那么,现在w=15的时候,我们该取那种钞票呢?当然是各种方案中,cost值最低的那一个
- 取11: cost=f(4)+1=4+1=5
- 取5: cost = f(10) + 1 = 2 + 1 = 3
- 取1: cost = f(14) + 1 = 4 + 1 = 5
显而易见,cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子,做出了正确的决策!
这给了我们一个至关重要的启示—— 只与 相关;更确切地说: f(n) 只与 f(n-1),f(n-5),f(n-11) 相关;更确切地说:
f(n)=min{f(n-1),f(n-5),f(n-11)}+1
则数组内面值为为[1,5,11]时:
int [] f = new int[amount + 1], cost;
f[0] = 0;
for(int i = 1; i <= amount; i++){
cost = Integer.MAX_VALUE;
if(i - 1 >=0) cost = Math.min(cost, f[i-1] + 1);
if(i - 5 >=0) cost = Math.min(cost, f[i-5] + 1);
if(i - 11 >=0) cost = Math.min(cost, f[i-11] + 1);
f[i]=cost;
}
代码实现:
class Solution {
public static int coinChange(int[] coins, int amount) { int[] dp = new int[amount + 1];
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
int cost = Integer.MAX_VALUE;
for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
if (i - coins[j] >= 0) {
if(dp[i-coins[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
cost = Math.min(cost, dp[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
dp[i] = cost;
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
}
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