[BZOJ4827][Hnoi2017]礼物（FFT）

4827: [Hnoi2017]礼物

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Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小，这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度可以大于 m。

Sample Input

5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5

Sample Output

1
【样例解释】
需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第
二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页一个位置，使得第二手环的最终的亮度为
：3 3 4 5 6。此时两个手环的亮度差异值为1。

HINT

Source

Solution

　　由于是多项式第一题所以抄的yyb的题解（说的像我后面就能自己做一样。。。）

　　为了方便，我们从0开始编号，然后答案就是下面这个式子

　　\[{\mathop{ \sum }\limits_{{i=0}}^{{n-1}}{\mathop{{{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}\mathop{{-y}}\nolimits_{{i+k}}+c} \right) }}}\nolimits^{{2}}}}\]

　　其中${c}$的取值范围为${ \left[ {-m,m} \right] }$，因为一旦超过这个范围，$c+{\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}$的绝对值一定大于${\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}}$的绝对值，这样把$c$+1或-1一定能使答案更小。

　　把答案式子拆开：

　　\[{{ \sum {\mathop{{\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{2}}}}+{ \sum {\mathop{{\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{2}}}-{2 \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}+n\mathop{{c}}\nolimits^{{2}}+}}2c \left( { \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}}-{ \sum {\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}}} \right) }\]

　　c可以枚举，所以除了${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}}$都算常数项了，接下来考虑如何最大化${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}}$

　　显然不能n^2暴力乘。我们把$x$看成一个多项式，把$y$ reverse一下，也看成一个多项式，然后做卷积，发现卷积后第n-1项的系数恰好就是${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}}$。

　　解法呼之欲出：把$y$(reverse后的)复制一遍接在后面，然后跟$x$做卷积，那么卷积后第n-1+k项的系数就是${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}}$。

　　//公式编辑得好累……

Code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=<<;

const double pi=acos(-1.0);

inline int read(){

    int x=,w=;char ch=;

    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();

    while(isdigit(ch)) x=(x<<)+(x<<)+(ch^),ch=getchar();

    return w?-x:x;

}

struct cp{

    double x,y;

    cp(double xx=,double yy=):x(xx),y(yy){};

    cp operator + (const cp &tmp)const{return cp(x+tmp.x,y+tmp.y);}

    cp operator - (const cp &tmp)const{return cp(x-tmp.x,y-tmp.y);}

    cp operator * (const cp &tmp)const{return cp(x*tmp.x-y*tmp.y,x*tmp.y+y*tmp.x);}

};

int n,m,ans,ss,sa[N],sb[N],rev[N],res[N];

cp a[N],b[N];

void fft(int n,cp a[],int fg){

    for(int i=;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);

    for(int m=,len=m<<;m<n;m<<=,len<<=){

        cp I=cp(cos(pi/m),fg*sin(pi/m));

        for(int i=;i<n;i+=len){

            cp w=cp(,),t;

            for(int j=;j<m;++j,w=w*I)

                t=a[i+j+m]*w,

                a[i+j+m]=a[i+j]-t,

                a[i+j]=a[i+j]+t;

        }

    }

}

void pre(){

    for(int i=;i<n;++i) a[i].x=sa[i+],b[i].x=b[i+n].x=sb[n-i];

    int lim=,l=;

    while(lim<=(n*-)) lim<<=,++l;

    for(int i=;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-));

    fft(lim,a,),fft(lim,b,);

    for(int i=;i<lim;++i) a[i]=a[i]*b[i];

    fft(lim,a,-);

    for(int i=;i<lim;++i)

        res[i]=(int)(a[i].x/lim+0.5);

}

int main(){

    n=read(),m=read();

    for(int i=;i<=n;++i){

        sa[i]=read();

        ans+=sa[i]*sa[i];

        ss+=sa[i];

    }

    for(int i=;i<=n;++i){

        sb[i]=read();

        ans+=sb[i]*sb[i];

        ss-=sb[i];

    }

    pre();

    int tmp=;

    for(int k=;k<n;++k) tmp=max(tmp,res[n-+k]);

    ans-=(tmp<<);tmp=0x3f3f3f3f;

    for(int c=-m;c<=m;++c) tmp=min(tmp,n*c*c+*c*ss);

    cout<<ans+tmp<<endl;

    return ;

}

BZOJ4827

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