hdu多校第三场 1006 （hdu6608） Fansblog Miller-Rabin素性检测

题意：

给你一个1e9-1e14的质数P，让你找出这个质数的前一个质数Q，然后计算Q！mod P

题解：

1e14的数据范围pass掉一切素数筛法，考虑Miller-Rabin算法。

米勒拉宾算法是一种判断素数的随机化算法，由于其随机性，它不能保证总是正确的，但其对于一个素数，总会返回素数的结果，对于一个合数，才有极小概率返回素数的结果（假阳性）。

米勒拉宾算法对于单个素数的判断时间复杂度为$O(log^3n)$.（因为1e14相乘会爆longlong，模乘要写成龟速乘，因此要多一个log）

1849年，高斯猜想，素数分布密度符合如下的公式，$\pi(x) \approx x/lnx$，其中$\pi(x)$为不超过x的素数个数，根据这个公式，1e14以内，两个素数间隔平均只有46个左右，相当稠密了。

因此，只需要用米勒拉宾算法从P-1一个一个判断，直到找到另一个素数Q。

再给出一个结论，对于任意素数n，(n-2)! mod n = 1，因为从2到n-2，互为模n逆元的数捉对出现，证明可参考离散数学课本数论部分。

因此，计算Q！ mod P只需计算 $\prod^{P-2}_{i=Q+1}i$ 再利用费马小定理快速幂求逆元即可。

需要注意，1e14相乘会爆longlong，可以用_int128，但稳妥一点的方法是用思想类似于快速幂的龟速乘。

#include<bits/stdc++.h>

#define Times 10

#define LL long long

#define ll long long

using namespace std;

ll multi(ll a, ll b, ll m) {

    ll ans = ; a %= m;

    while (b) {

        if (b & )ans = (ans + a) % m;

        a = (a + a) % m; b >>= ;

    } return ans;

}

ll quick_mod(ll a, ll b, ll m) {

    ll ans = ; a %= m;

    while (b) {

        if (b & )ans = multi(ans, a, m);

        a = multi(a, a, m); b >>= ;

    } return ans;

}

bool Miller_Rabin(ll n) {

    if (n == )return true;

    if ((n < ) || !(n & ))return false;

    ll m = n - ;

    ll k = ;

    while ((m & ) == ) {

        k++; m >>= ;

    }

    for (ll i = ; i < Times; i++) {

        ll a = rand() % (n - ) + ;

        ll x = quick_mod(a, m, n);

        ll y = ;

        for (ll j = ; j < k; j++) {

            y = multi(x, x, n);

            if (y ==  && x !=  && x != n - )return false;

            x = y;

        } if (y != )return false;

    } return true;

}

long long quick_mul(long long x,long long y,long long mod)

{

    long long ans=;

    while(y!=){

        if(y&==)ans+=x,ans%=mod;

        x=x+x,x%=mod;

        y>>=;

    }

    return ans;

}

long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)

{

    long long sum=;

    while(y!=){

         if(y&==)sum=quick_mul(sum,x,mod),sum%=mod;

             x=quick_mul(x,x,mod),x%=mod;

              y=y>>;

    }

    return sum;

}

int main(){

//    LL pp=1;

//    for(int i=1;i<=999999937;i++){

//        pp=pp*i%1000000007;

//    }

//    printf("%lld\n",pp);

    int t;

    scanf("%d",&t);

    while(t--){

        LL q;

        scanf("%lld",&q);

        LL p;

        for(register LL i=q-;;i-=){

            if(Miller_Rabin(i)){

                p=i;break;

            }

        }

//        printf("%d\n",p);

        LL ans=;

        for(LL j=p+;j<=q-;j++){

            ans=quick_mul(ans,j,q);

        }

        printf("%lld\n",quick_pow(ans,q-,q));

    }

    return ;

}

巴特西

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