数论 N是完全平方数充分必要条件 N有奇数个约数

N是完全平方数 <----> N有奇数个约数

设：N = n*n

充分性：

1、N=1时，N的约数为1，为奇数

2、N>1时，1.....n......N，其中 1, n, N为N的3个约数。若在1~n之间存在另外一个约数m1，则在n~N之间必存在约数N/m1，同理，有m2，则存在N/m2，即必有（3 + 偶数）个，为奇数

必要性：

1、如果N的约数只有两个，那只能是1和N本身，则N是一个质数，肯定不是完全平方数

2、若N除了1和N本身之外，还存在另外一个约数m，则必存在约数N/m，所以N的约数为（2 + 偶数）个，为偶数

3、除非m与N/m相等，这样才能将“两个”约数合并为1个约数，产生奇数个约数。即 m = N/m , N = m*m，即，N是完全平方数

巴特西