图论-最短路径<Dijkstra,Floyd>
2019/11/15 更新日志
发现我的Dijstra优先队列模板有点问题，修改了，并在多处删繁就简，增添详细注释。
昨天： 图论-概念与记录图的方法
以上是昨天的Blog，有需要者请先阅读完以上再阅读今天的Blog。
可能今天的有点乱，好好理理，认真看完相信你会懂得
分割线
第二天
引子：昨天我们简单讲了讲图的概念与记录图的方法，那么大家有一定的底子了，我们就开始初步接触图论算法了！
我们只讲Dijkstra和Floyd，因为其实在比赛中会这两个算法就很好了。
今天我们要讲的是：最短路径问题
Top1：最短路的概念
相信大家都知道有一款Made in China的导航软件——百度导航。那么他们是怎么为我们导航的？就是使用了今天我们要学的问题 最短路径 。
说不定你学了之后就可以做一个导航的 是不是有点小激动？
\(重点：最短路问题就是一个点到另一个最短的路径！\)
最短路专业术语：
中转点： 一个点到另一个点不一定是有直接道路连接的，可能会经过一些别的点，我们就叫那些点叫做 中转点 。
松弛： 比如现在从 \(I\) 点到 \(J\) 点的边权为 \(X\) ，而现在有一个点 \(K\) ，\(K\) 到 \(I\) 的边权为 \(Y\) ，\(K\) 到 \(J\) 的边权为 \(Z\)。如果 \(Y\) + \(Z\) < \(X\) ，也就是 (\(I\) 点到 \(J\) 点的路径边权) 比 (\(K\) 到 \(J\) 的边权) 加上 (\(K\) 到 \(I\) 的边权) 还要大，那么显而易见， \(I\) 到 \(J\) 的直接路径 \(X\) 可以由中转点 \(K\) 降到 \(Y + Z\)，使得 \(I\) 到 \(J\) 的最短路径更优。
Top2:Floyd算法
现在大家都知道最短路是什么了，那么从简单到复杂，我们先来看看新手必懂的算法。
Floyd简单粗暴，就是枚举三个点，一个起点，一个终点，一个中转点。看 起点到中转点的路径 加上 中转点到终点的路径 是不是小于 目前起点到终点的路径 即可（就是不断松弛）。
显而易见，Floyd算法很好懂，就是时间复杂度高了点—— \(N^3\) 的复杂度。而且，Floyd是多源最短路，询问时只需调用dis就行了。
所以， 当 N 大于1000时，慎用！
代码就很简答啦(蒟蒻用邻接矩阵写的)：
//如果为无向图,dis就会对称,Floyd的j就只要到i,且dis[i][j]dis[j][i] 要一起更新
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 10;
int n,m;
int x,y,z;
int dis[MAXN][MAXN];
void Floyd(){
for(int k = 1;k <= n; k++)
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n/*i*/; j++)
if(dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
return;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i <= n; i++)dis[i][i] = 0;
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n; j++){
if(i != j)dis[i][j] = 1e9;
}
for(int i = 1;i <= m; i++){
cin>>x>>y>>z;
dis[x][y] = z;
}
Floyd();
for(int i = 1;i <= n; i++){
for(int j = 1;j <= n; j++){
cout<<dis[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
Top3：Dijkstra算法
Dijkstra与Floyd相反，是单元最短路，即只能求出一个点到其他所有点的最短路。
Dijkstra属于贪心的思想，正解：
首先定义两个种类——黑点和白点，黑点就是在目前算完最短路径的点，白点反之。
每次在白点中找一个离目前任意一个黑点最近的，加入黑点，更新白点到原点的最短路即可。
代码如下：注意：这里的dis不再是邻接矩阵，是单源最短路径。tot才是邻接矩阵！
邻接矩阵，蒟蒻是用洛谷P1828 香甜的黄油 Sweet Butter 作为例题写的模板，体谅一下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 10;
struct Node{
int x,y;
}f[MAXN];
int n,m,a,b,s,t;
bool black[MAXN];
double dis[MAXN];
double tot[MAXN][MAXN];
double calc(int i,int j){
return sqrt((f[i].x - f[j].x) * (f[i].x - f[j].x) + (f[i].y - f[j].y) * (f[i].y - f[j].y));
}
double Dijkstra(int start,int end){
for(int i = 1;i <= n; i++){
dis[i] = tot[start][i];
}
dis[start] = 0;
black[start] = true;
for(int i = 1;i < n; i++){
double M = 2e9;
int u = start;
for(int j = 1;j <= n; j++){
if(dis[j] < M && !black[j]){
M = dis[j];
u = j;
}
}
if(u == start)continue;
//此处的判断与前面的u = start对应,若该图存在一个单独的点这里就要加上
//否则可以u = 0,这个判断删掉
black[u] = true;
for(int j = 1;j <= n; j++){
if(black[j])continue;
if(dis[u] + tot[u][j] < dis[j]){
dis[j] = dis[u] + tot[u][j];
}
}
}
return dis[end];
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n; i++)
for(int j = 1;j <= n; j++){
tot[i][j] = i == j ? 0 : 1e9;
}
for(int i = 1;i <= n; i++){
scanf("%d%d",&f[i].x,&f[i].y);
}
scanf("%d",&m);
for(int i = 1;i <= m; i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
tot[a][b] = calc(a,b);
tot[b][a] = tot[a][b];
}
scanf("%d%d",&s,&t);
printf("%.2f",Dijkstra(s,t));
return 0;
}
所以，Dijkstra的时间复杂度是 \(N^2\)
怎么优化呢？很简单——在寻找离黑点最近的白点时，使用优先队列即可。
但是这里要注意的是，我们朴素的使用单调队列维护，在洛谷 P4779 【模板】单源最短路径 中会TLE。
为什么呢？
我们的优先队列不想 set 等 STL ，没有自动去重的功能。所以当队列中有多个相同的元素时，Dijkstra的效率会大大减少。
所以 ，我们需要一个bool型的数组，不难想到，该数组用来记录 每个元素当前在队列中是否存在。
细节又来了。 我们bool型数组的定义是 每个元素当前在队列中是否存在。 那么我们每次在优先队列弹出队首进行操作时，我们需要 将队首的bool标记取消。
一个元素可以多次单独出现在队列，但是不能一次多个出现在队列。
虽然多次拓展到队首，但是队首到源点的最短路径 可能 更新了。所以我们不妨再次从队首再次进行拓展，更新周围点的答案。 这就是我们为什么要将队首的bool标记取消。
优先队列Dijkstra：
#include<bits/stdc++.h>
#include<cctype>
#pragma GCC optimize(2)
#define in(a) a = read()
#define out(a) write(a),printf(" ")
#define outn(a) write(a),putchar('\n')
#define ll long long
#define rg register
#define New int
using namespace std;
namespace IO_Optimization{
inline New read()
{
New X = 0,w = 0;
char ch = 0;
while(!isdigit(ch))
{
w |= ch == '-';
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return w ? -X : X;
}
inline void write(New x)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
if(x > 9) write(x/10);
putchar(x % 10 + '0');
}
#undef New
}
using namespace IO_Optimization;
const int MAXN = 1000000 + 2;
int n,m,s,x,y,z,len,p;
int dis[MAXN],nxt,val;
struct Node
{
int num,dist;
inline bool operator <(const Node &nnxt)const{
return dist > nnxt.dist;
}
};
vector<Node> nei[MAXN];
bool vis[MAXN];
inline void Dijkstra(int start)
{
memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
memset(vis,false,sizeof(vis));
priority_queue<Node>q;
Node cur = {start,0};
q.push(cur);
dis[start] = 0;
vis[start] = true;
while(!q.empty())
{
cur = q.top();
q.pop();
p = cur.num;
vis[p] = false;
len = nei[p].size();
for(rg int i = 0;i < len; ++i)
{
nxt = nei[p][i].num;
val = nei[p][i].dist;
if(dis[nxt] > dis[p] + val)
{
dis[nxt] = dis[p] + val;
if(!vis[nxt])
{
Node tmp = {nxt,dis[nxt]};
q.push(tmp);
vis[nxt] = true;
}
}
}
}
return;
}
int main()
{
in(n),in(m),in(s);
for(rg int i = 1;i <= m; ++i)
{
in(x),in(y),in(z);
nei[x].push_back((Node){y,z});
}
Dijkstra(s);
for(rg int i = 1;i <= n; ++i)
out(dis[i] == 0x3f3f3f3f ? 2147483647 : dis[i]);
return 0;
}
顺便带一下SPFA的算法模板和用动态数组记录的Dijkstra(这里不做详解了，有需要的人可以复制看一下)
SPFA：
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n, p, c, cow[801], a, b, d, cnt = 0, sum = 0, ans = 2147483647;
int dis[10000], w[10000], next[10000], to[10000], first[10000] = {0};
bool exist[10000] = {false};
queue<int> q;
void addEdge(int u, int v, int weight)
{
cnt++; //边的编号
to[cnt] = v; //第cnt条边指向点v
w[cnt] = weight; //第cnt条边的权值
next[cnt] = first[u]; // 第cnt条边指向连接点u的第一条边
first[u] = cnt; //将连接点u的第一条边更新为第cnt条边
return;
}
void spfa(int start)
{
memset(exist, false, sizeof(exist)); //一开始所有点在队列外
memset(dis, 0x7f, sizeof(dis)); //将所有点到起始点的距离置为极大值
dis[start] = 0;
q.push(start); //起始点入队列
exist[start] = true;
while(!q.empty())
{
int head = q.front(); //取队列的第一个点
q.pop();
exist[head] = false;
for(int e = first[head]; e != 0; e = next[e]) //循环head连接的每一条边
{
//松弛操作
if(dis[head] + w[e] < dis[to[e]])
{
dis[to[e]] = dis[head] + w[e];
if(exist[to[e]] == false)
{
q.push(to[e]); //将被更新的点入队列
exist[to[e]] = true;
}
}
}
}
return;
}
int main()
{
cin >> n >> p >> c;
for(int i=1; i <= n; i++) //输入每头牛所在的位置
{
cin >> cow[i];
}
for(int e=1; e <= c; e++) //输入每一条边
{
cin >> a >> b >> d;
addEdge(a, b, d);
addEdge(b, a, d);
}
for(int i=1; i <= p; i++) //注意是循环牧场
{
spfa(i);
sum = 0;
for(int j=1; j <= n; j++)
{
sum = sum + dis[cow[j]];
}
ans = min(ans, sum);
}
cout << ans;
return 0;
}
好了，第二天就到这里，是不是都听懂了呢狗屁？欢迎在下方留言！
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