数学：A^B的约数（因子）之和对MOD取模

POJ1845

首先把A写成唯一分解定理的形式

分解时让A对所有质数从小到大取模就好了

然后就有：A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn

然后有： A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

那么A^B就可以是

sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n

（）若n为奇数,一共有偶数项，则：

       + p + p^ + p^ +...+ p^n

      = (+p^(n/+)) + p * (+p^(n/+)) +...+ p^(n/) * (+p^(n/+))

      = ( + p + p^ +...+ p^(n/)) * ( + p^(n/+))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

（）若n为偶数,一共有奇数项,则:

       + p + p^ + p^ +...+ p^n

      = (+p^(n/+)) + p * (+p^(n/+)) +...+ p^(n/-) * (+p^(n/+)) + p^(n/)

      = ( + p + p^ +...+ p^(n/-)) * (+p^(n/+)) + p^(n/);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

p^n直接快速幂就可以了

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 const int mod=;

 const int maxn=;

 int A,B;

 int fatcnt;

 int prime[maxn];

 long long factor[][];

 void get_prime()

 {

     memset(prime,,sizeof(prime));

     for(int i=;i<=maxn;i++)

     {

         if(!prime[i]) prime[++prime[]]=i;

         for(int j=;j<=prime[]&&prime[j]<=maxn/i;j++)

         {

             prime[prime[j]*i]=;

             if(i%prime[j]==) break;

         }

     }

 }

 int get_factors(long long x)

 {

     fatcnt=;

     long long tmp=x;

     for(int i=;prime[i]<=tmp/prime[i];i++)

     {

         factor[fatcnt][]=;

         if(tmp%prime[i]==)

         {

             factor[fatcnt][]=prime[i];

             while(tmp%prime[i]==)

             {

                 factor[fatcnt][]++;

                 tmp/=prime[i];

             }

             fatcnt++;

         }

     }

     if(tmp!=)

     {

         factor[fatcnt][]=tmp;

         factor[fatcnt++][]=;

     }

     return fatcnt;

 }

 long long pow_mod(long long a,long long n)

 {

     long long res=;

     long long tmp=a%mod;

     while(n)

     {

         if(n&)

         {

             res*=tmp;

             res%=mod;

         }

         n>>=;

         tmp*=tmp;

         tmp%=mod;

     }

     return res;

 }

 long long sum(long long p,long long n)

 {

     //1+p+p^2+````+p^n

     if(p==) return ;

     if(n==) return ;

     if(n&)

         return ((+pow_mod(p,n/+))%mod*sum(p,n/)%mod)%mod;

     else

         return ((+pow_mod(p,n/+))%mod*sum(p,n/-)+pow_mod(p,n/)%mod)%mod;

 }

 int main()

 {

     get_prime();

     while(scanf("%d%d",&A,&B)==)

     {

         get_factors(A);

         long long ans=;

         for(int i=;i<fatcnt;i++)

         {

             ans*=(sum(factor[i][],B*factor[i][])%mod);

             ans%=mod;

         }

         printf("%I64d\n",ans);

     }

     return ;

 }

巴特西

数学：A^B的约数（因子）之和对MOD取模

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