题面

Description

Nick 是只在动物城以坑蒙拐骗为生的狐狸，儿时受到偏见的伤害，放弃了自己的理想。他被兔子 Judy 设下圈套，被迫与她合作查案，而卷入意想不到的阴谋，历尽艰险后成为搭档。他们识破了绵羊副市长 Bellwether 的计划，发现是 Bellwether 陷害食肉动物，用毒药让食肉动物发狂。Bellwether 被抓到了监狱里面， Nick 和 Judy 过上了一段平静的日子。

然而，故事并没有这样结束，之前在车管所帮他们查车牌号的憨厚的树懒 Flash，才是陷害食肉动物事件的幕后主使。Flash 批量制作了大量让食肉动物发狂的药剂，投放到了食肉动物群中。现在，大量的食肉动物被感染，动物城陷入了一片混乱。警察局的牛局长 Bogo 找到了 Nick，希望他能帮忙。幸运的是，动物城联邦安全局非常有先见之明，他们在每个州都秘密放置了一台机器，机器能生产能量石，这些能量石能让食肉动物恢复正常。现在 Nick 和 Judy 需要去启动这些机器。

动物城是一个有$N$个州的联邦，该联邦是一个树的形状，即$N$个州共有$N−1$条双向道路连接它们，且$N$个州是相互连通的。$N$个州的编号依次为$1,2,3,\ldots,N$。每个州都有且仅有一台机器。一台机器启动后的下一个时刻，就会开始生产能量石，每个单位时间生产一个。能量石从被生产的时刻开始即生效，每一个单位时间能救一定数量的食肉动物。每个州的解毒机器制造出的能量石的品种可能是不同，第$i$个州的机器生产的能量石每个单位时间能救$a_i$只食肉动物。

Nick 和 Judy 剩下的时间不多了，他们决定分工合作。 Nick 从$X$州出发，目的地为$Y$ 州，路径为$X$到$Y$的最短路径。 Nick 从$X$州出发的时刻为$0$，每隔一个单位时间移动一个州。每到一个州， Nick 就会启动这个州的机器。 Nick 想知道他从$X$州出发到达$Y$州的这段时间里，一共有多少食肉动物被拯救。 Nick 在纠结他的路线选择，因此，他会给你若干的询问，希望比他更聪明的你能帮助他。

在他给你询问的过程中，动物城的局势也在发生着一些变化。动物城联邦安全局可以执行一个修改操作$"X,Y,delta"$，会对$X$州到$Y$州的最短路径上的州（包括$X$,$Y$州）的机器进行升级，这样，这些机器生产出来的能量石，每个单位时间能救的食肉动物的数量会增加$delta$。树懒 Flash 当然也不会坐以待毙，他有一台监控仪，会监控每个州的机器的情况，每当有机器被升级，监控仪就会保存下当前所有州的机器的属性$a_i$。 Flash可以用一种神秘的武器执行一个读取操作$"X"$,把当前各个州的机器恢复到第$X$次保存的状态（$X=0表示未进行过升级时的初始状态）。注意，只有修改操作执行的时后会进行保存。

现在，依次给出$M$个操作，若该操作为一个询问，请你输出 Nick 在当前局面下，他从 $X$州出发到达$Y$州的这段时间里，一共有多少食肉动物被拯救，由于这个答案可能很大，你只需要输出答案模$20160501$后的值。请注意，$M$个操作都是被加密过的。

Input

第一行 2 个整数$N,M$表示节点个数和操作次数。

接下来$N−1$每行$2$个整数$U_i,V_i$表示了这棵树中$U_i$和$V_i$这$2$个州间有边相连。

接下来一行$N$个整数, 表示这$N$个州的机器制造的能量的初始值。

接下来$M$行每行先有一个数字表示了操作的类型：

类型$1$，代表一个修改操作，接下来有$3$个整数$X_1,Y_1,delta$,$X_1,Y_1$是加密后的数字。正确的$X=X_1\;xor\;lastans,Y=Y_1\;xor\;lastans$。$lastans$为上次输出的的答案，如果之前没有输出过那么当成$0$。

类型 2，代表一个询问操作，接下来有$2$个整数$X_1,Y_1$, 和修改操作一样，正确的 $X=X_1\;xor\;lastans,Y=Y_1\;xor\;lastans$。$lastans$为上次输出的的答案，如果之前没有输出过那么当成$0$。

类型 3，代表一次读取操作，接下来$1$个整数$X1$，正确的$X=X_1\;xor\;lastans$。 $Lastans$为上次输出的的答案，如果之前没有输出过那么当成$0$。

Output

对于每个操作$2$，输出一行，每行一个数，为所询问的答案模$20160501$后的值。

zootopia.in	zootopia.out
5 6 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4 5 1 1 5 2 3 0 1 1 3 2 1 3 4 2 3 2 2 1 5	73
5 4 1 2 1 3 2 4 3 5 1 1 1 2 2 1 1 4 2 2 1 4 3 12 2 13 8	12 4

HINT

所有的数据$1≤a_i,delta≤100000$。保证数据是合法的，不会读取没保存的局面，即$X≤$ 已经给出的修改操作次数。

$N≤100000,M≤100000$;

一开始的初值为 1,2,3,4,5。

第 1 个操作为修改操作，修改后变为 3,4,5,6,7。

第 2 个操作为读取操作，读取第 0 次修改后的局面， a1...a5 变为 1,2,3,4,5。

第 3 个操作为修改操作，修改后变为 3,4,5,4,5。

第 4 个操作为修改操作，修改后变为 3,4,7,6,5。

第 5 个操作为读取操作，读取第 2 次修改后的局面， a1...a5 变为 3,4,5,4,5。

第 6 个操作为询问操作，询问从 1 出发走到 5 的时间内有多少食肉动物被拯救。

Nick 在时刻 4 走到州 5。

此时一共被拯救的动物数量为$(3)+(3×2+4)+(3×3+4×2+5)+(3×4+4×3+5×2+4)=73$

分析

注意：生产的是能量石，而能量石不会消失，一直会有效果，所以每时刻拯救的动物的数量是递增的，而不是每时刻拯救固定数量！也就是说，询问的不是前缀和，而是双重前缀和！

首先，看到这道题我们就会想到树链剖分。那么我们直接树链剖分。

当统计答案时，我们令$LCA=lca(X,Y)$，分成$[X,LCA]$和$[LCA,Y]$两段分别处理。

当点$P\in[X,LCA]$时，由等差数列求和公式，这个点贡献的答案为：$$\begin{align}

&a_i\times\frac{(dep_i+dep_Y-2dep_{LCA})(dep_i+dep_Y-2dep_{LCA}+1)}{2}\

=&a_i\times\frac{(dep_Y+dep_Y^{2-4dep_{LCA}dep_Y+4dep_{LCA}}2-2dep_{LCA})+dep_i(1+2dep_Y-4dep_{LCA})+dep_i^2}{2}\

=&a_i\times\frac{[dep_Y(dep_Y+1)-2dep_{LCA}(2dep_Y-2dep_{LCA}+1)]+dep_i(1+2dep_Y-4dep_{LCA})+dep_i^2}{2}

\end{align}$$
当点$P\in[LCA,Y]$时，由等差数列求和公式，这个点贡献的答案为：$$\begin{align}

&a_i\times\frac{(dep_Y-dep_i)(dep_Y-dep_i+1)}{2}\

=&a_i\times\frac{(dep_Y+dep_Y^{2)+dep_i(-1-2dep_Y)+dep_i}2}{2}\

=&a_i\times\frac{dep_Y(dep_Y+1)+dep_i(-1-2dep_Y)+dep_i^2}{2}

\end{align}$$

于是，我们可以维护权值总和、权值与深度之积的总和、权值与深度的平方之积的总和来统计答案。为了进行更新，我们还要维护深度的总和、深度的平方的总和。当询问时，我们把$a_i$的系数、$a_i dep_i$的系数传进去即可。

这道题还需要访问历史状态，于是我们用可持久化线段树（主席树）进行维护。为了节省空间，采用标记永久化策略。

代码

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=100001;

const ll MOD=20160501;

int n,m,tot,dfx,lst,head[N],v[N<<1],nxt[N<<1],num[N],dep[N],f[N],sum[N],son[N],id[N],dfn[N],pre[N];

void addedge(int x,int y){v[++tot]=y;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;}

void dfs1(int u=1){

    sum[u]=1;

    for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){

        if(v[i]!=f[u]){

            f[v[i]]=u;

            dep[v[i]]=dep[u]+1;

            dfs1(v[i]);

            sum[u]+=sum[v[i]];

            if(!son[u]||sum[v[i]]>sum[son[u]])son[u]=v[i];

        }

    }

}

void dfs2(int u=1,int top=1){

    id[u]=top;

    dfn[u]=++dfx;

    pre[dfx]=u;

    if(!son[u])return;

    dfs2(son[u],top);

    for(int i=head[u];~i;i=nxt[i])if(v[i]!=son[u]&&v[i]!=f[u])dfs2(v[i],v[i]);

}

struct PresidentTree{

    int nowrt,idx,rtx,rt[N];

    struct node{

        int ls,rs;

        ll sum,dep,dep2,sudep,sudep2,add;

    }t[N*50];

    void pushup(int o){

        t[o].sum=(t[t[o].ls].sum+t[t[o].rs].sum)%MOD;

        t[o].dep=(t[t[o].ls].dep+t[t[o].rs].dep)%MOD;

        t[o].dep2=(t[t[o].ls].dep2+t[t[o].rs].dep2)%MOD;

        t[o].sudep=(t[t[o].ls].sudep+t[t[o].rs].sudep)%MOD;

        t[o].sudep2=(t[t[o].ls].sudep2+t[t[o].rs].sudep2)%MOD;

    }

    void build(int &o,int l,int r){

        o=++idx;

        if(l==r){

            t[o].sum=num[pre[l]];

            t[o].dep=dep[pre[l]];

            t[o].dep2=dep[pre[l]]*dep[pre[l]]%MOD;

            t[o].sudep=t[o].sum*t[o].dep%MOD;

            t[o].sudep2=t[o].sum*t[o].dep2%MOD;

            return;

        }

        int mid=(l+r)>>1;

        build(t[o].ls,l,mid);

        build(t[o].rs,mid+1,r);

        pushup(o);

    }

    pair<ll,ll> update(int rt,int l,int r,int &o,int ql,int qr,ll c){

        if(ql>qr)swap(ql,qr);

        if(!o){

            o=++idx;

            t[o]=t[rt];

            t[o].ls=t[o].rs=0;

        }

        if(ql<=l&&r<=qr){

            t[o].add=(t[o].add+c)%MOD;

            t[o].ls=t[rt].ls;

            t[o].rs=t[rt].rs;

            return make_pair(t[o].dep,t[o].dep2);

        }

        int mid=(l+r)>>1;

        pair<ll,ll>p,tmp;

        if(qr<=mid){

            if(!t[o].rs)t[o].rs=t[rt].rs;

            if(t[o].ls==t[rt].ls)t[o].ls=0;

            p=update(t[rt].ls,l,mid,t[o].ls,ql,qr,c);

        }else if(ql>mid){

            if(!t[o].ls)t[o].ls=t[rt].ls;

            if(t[o].rs==t[rt].rs)t[o].rs=0;

            p=update(t[rt].rs,mid+1,r,t[o].rs,ql,qr,c);

        }else{

            if(t[o].ls==t[rt].ls)t[o].ls=0;

            p=update(t[rt].ls,l,mid,t[o].ls,ql,qr,c);

            if(t[o].rs==t[rt].rs)t[o].rs=0;

            tmp=update(t[rt].rs,mid+1,r,t[o].rs,ql,qr,c);

            p.first+=tmp.first;

            p.second+=tmp.second;

        }

        t[o].sum=(t[o].sum+c*(min(qr,r)-max(ql,l)+1))%MOD;

        t[o].sudep=(t[o].sudep+c*p.first)%MOD;

        t[o].sudep2=(t[o].sudep2+c*p.second)%MOD;

        return p;

    }

    ll query(int o,int l,int r,int ql,int qr,ll tag,ll s1,ll s2){

        tag=(tag+t[o].add)%MOD;

        if(ql>qr)swap(ql,qr);

        if(ql<=l&&r<=qr)return ((t[o].sum+tag*(r-l+1))%MOD*s1+(t[o].sudep+tag*t[o].dep)%MOD*s2+(t[o].sudep2+tag*t[o].dep2)%MOD)%MOD;

        ll re=0;

        int mid=(l+r)>>1;

        if(ql<=mid)re+=query(t[o].ls,l,mid,ql,qr,tag,s1,s2);

        if(qr>mid)re+=query(t[o].rs,mid+1,r,ql,qr,tag,s1,s2);

        return re%MOD;

    }

}pt;

void update(int x,int y,ll del){

    ++pt.rtx;

    while(id[x]!=id[y]){

        if(dep[id[x]]<dep[id[y]])swap(x,y);

        pt.update(pt.rt[pt.nowrt],1,n,pt.rt[pt.rtx],dfn[id[x]],dfn[x],del);

        x=f[id[x]];

    }

    pt.update(pt.rt[pt.nowrt],1,n,pt.rt[pt.rtx],dfn[x],dfn[y],del);

    pt.nowrt=pt.rtx;

}

int LCA(int x,int y){

    while(id[x]!=id[y]){

        if(dep[id[x]]<dep[id[y]])swap(x,y);

        x=f[id[x]];

    }

    return dep[x]<=dep[y]?x:y;

}

ll query(int x,int y){

    ll ans=0;

    int b=y,lca=LCA(x,y);

    while(id[x]!=id[y]){

        if(dep[id[x]]>dep[id[y]]){

            ans=(ans+pt.query(pt.rt[pt.nowrt],1,n,dfn[id[x]],dfn[x],0,((ll)dep[b]*(dep[b]+1)-2*dep[lca]*(2*dep[b]-2*dep[lca]+1)+MOD)%MOD,(1+2*dep[b]-4*dep[lca]+MOD)%MOD))%MOD;

            x=f[id[x]];

        }else{

            ans=(ans+pt.query(pt.rt[pt.nowrt],1,n,dfn[id[y]],dfn[y],0,((ll)dep[b]*(dep[b]+1))%MOD,(-1-2*dep[b]+MOD)%MOD))%MOD;

            y=f[id[y]];

        }

    }

    if(dep[x]>dep[y])ans=(ans+pt.query(pt.rt[pt.nowrt],1,n,dfn[y],dfn[x],0,((ll)dep[b]*(dep[b]+1)-2*dep[lca]*(2*dep[b]-2*dep[lca]+1)+MOD)%MOD,(1+2*dep[b]-4*dep[lca]+MOD)%MOD))%MOD;

    else ans=(ans+pt.query(pt.rt[pt.nowrt],1,n,dfn[x],dfn[y],0,((ll)dep[b]*(dep[b]+1))%MOD,(MOD-1-2*dep[b])%MOD))%MOD;

    return ans&1?(ans+MOD)>>1:ans>>1;

}

int main(){

    memset(head,-1,sizeof(head));

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<n;i++){

        int x,y;

        scanf("%d%d",&x,&y);

        addedge(x,y);

        addedge(y,x);

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]);

    dfs1();

    dfs2();

    pt.build(pt.rt[0],1,n);

    for(int i=1;i<=m;i++){

        int opt,x,y;

        ll del;

        scanf("%d",&opt);

        if(opt==1){

            scanf("%d%d%lld",&x,&y,&del);

            update(x^lst,y^lst,del);

        }else if(opt==2){

            scanf("%d%d",&x,&y);

            printf("%d\n",lst=query(x^lst,y^lst));

        }else if(opt==3){

            scanf("%d",&x);

            pt.nowrt=x^lst;

        }

    }

}

巴特西

[GDOI2016][树链剖分+主席树]疯狂动物城

题面

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Output

HINT

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