Baby-Step-Giant-Step 很酷的算法

Baby-Step-Giant-Step

BSGS算法用于解决形如: A ^ x ≡ B ( mod C ) 的问题。

　学这个算法前需要具备以下知识：快速幂取模、扩展欧几里得、同余知识、哈希表(也可以用map，不过更耗时)..　

　　一．普通的Baby-Step-Giant-Step

　　　　对于普通的BSGS，使用时有个限制条件就是：C只能是一个素数。当C 不是素数的时候，便要用到扩展BSGS，我们先来看普通的…

　　　　做法：首先令 x = a * m + b ; m = ceil ( sqrt ( C ) ) ; [ceil: 上取整] 0 <= a < m , 0 <= b < m ;

　　　　Then 原式等价于 ( ( A ^ a ) ^ m ) * A ^ b ≡ B (mod C );

　　　　Then 我们枚举a ，从0 到 m ，对每个a ,算出 A^a ，放到哈希表或map里(用哈希更高效…这里先用map) ,如 h=A^a; mp[h]=a;然后我们用 D 来表示 ( ( A ^ a ) ^ m ) ，用Y来表示 A^B 原式便可化为 : D * Y ≡ B (mod C);

　　　　Then 我们再次枚举 a 从 0 到 m ，可以逐个算出 D 的值，在有了D值得基础上，运用扩展欧几里得可以算出 Y ，现在查找原本记录的表，查看这个Y 值是否存在，如果存在便可返回 a^m + b ;

　　　　如果找完0 到 m ，依然没有发现可行的解，表示无解，退出。

 #include<stdio.h>

 #include<math.h>

 #include<map>

 using namespace std;

 /*

   Baby-Step-Giant-Step:   用于解决形如: A^x = B (mod C) 的问题

   <><> 普通的解法只能解决C是素数的情况

   首先，令 x= a*m + b ; -- m= Ceil(sqrt(c));  --  Ceil 表示上取整

   then 原式等价于 ( (A^a )^m )*(A^b)=B (mod c);

   then 那么我们可以枚举 a: 0-m ,记录到 (a,A^a) ，用H 来表示: (A^a)^m ;

   那么 原式等价于 H * A^b = B (mod c) ;

   then 求出 A^m ; 枚举 a: 0-m ，对于每个值判断有没有 A^b 存在，如果有便退出...

 */

 // 这个代码不敢保证正确无误，因为没有找到题来A，不过思路应该是没错

 //了解了普通的BSGS，可以去看下面那份代码，注释得比较详细...

 #define EPS 0.0000001

 typedef long long LL;

 LL pow(LL a,LL b,LL c)    //快速幂取模

 {

   LL ans=;

   while(b>)

   {

     if(b&)

     {

       ans=ans*a%c;

     }

     a=a*a%c;

     b>>=;

   }

   return ans;

 }

 void exGcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)

 {

   if(b==)

   {

     d=a;

     x=;

     y=;

     return ;

   }

   exGcd(b,a%b,d,x,y);

   LL t=x;

   x=y;

   y=t-a/b*y;

 }

 LL BSGS(LL A,LL B,LL C)

 {

   map<LL,int> mp;

   // LL m=(LL)ceil(sqrt(C));  据英明神武的某朱说Gcc不支持这个ceil

   LL m=(LL)(sqrt(C)+-EPS);

   for(int i=m-;i>=;i--)

   {

     LL h=pow(A,i,C);

     mp[h]=i;

   }

   LL h=pow(A,m,C);

   LL d,x,y;

   for(int i=;i<m;i++)

   {

     LL k=pow(h,i,C);

     exGcd(k,C,d,x,y);

     if(B%d!=) continue;

     x=((x*B/d%C)+C)%C;

     if(mp.find(x)!=mp.end()) return mp[x]+i*m;

   }

   return -;

 }

 int main()

 {

   LL A,B,C;

   while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&A,&B,&C)!=EOF)

   {

     printf("%I64d\n",BSGS(A,B,C));

   }

   return ;

 }

代码

　　二．扩展Baby-Step-Giant-Step

　　　　对于C不是素数的情况，不能照搬上面的做法，但也大同小异。

　　　下面我以hdu的模板题来介绍一下:

　　　　　题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2815

　　　　　题意: 给出3个数，A,C,B 表示 A^x ≡ B （mod C ），让你求最小的x ; 标准的模板题了，不过题目有些小坑，可以先看下discuss，自己找有点浪费时间，也没多大收获...

 #include<stdio.h>

 #include<stdlib.h>

 #include<math.h>

 #include<conio.h>

 #define Mod 40007       //取模的大小，哈希表的大小...

 #define Max 100000     //存放的总数

 #define EPS 0.000000001//精度

 typedef long long LL;

 class Hash             //手写哈希

 {

   public:

     int hs[Mod];       //哈希值  设定的哈希函数为 原值 % Mod ，所以哈希值有可能是 0 ~ Mod-1

     int next[Max];     //链表    存放哈希值相等的一条链，他的大小取决于所有原值的数量

     LL S[Max];         //存放原值

     int H[Max];        //存放所有哈希值

     int sn;            //不同原值的数量

     int hn;            //不同哈希值的数量

     Hash()             //构造函数: 定义Hash类变量时初始化

     {

       sn=;

       hn=;

       for(int i=;i<Mod;i++)

         hs[i]=;

     }

     void clear()       //清空函数

     {

       sn=;

       for(int i=;i<hn;i++)

         hs[H[i]]=;

       hn=;

     }

     void add(LL s)           //加入

     {

       int ha=abs(s)%Mod;     //计算哈希值

       if(hs[ha]==)          //如果该哈希值还未出现过

       {

         H[hn++]=ha;          //将该哈希值记录起来，同时哈希值数量加 1

       }

       sn++;                  //0 表示结尾，所以从1 开始存，原值数量加 1，特别针对 hs数组

       S[sn]=s;               //将原值记录起来

       next[sn]=hs[ha];       //原本原值记录位置

       hs[ha]=sn;             //最新原值记录位置，如果从0 开始存，就无法判断此时是空还是1个值

       //比如：5 和 10 有一样的哈希值 ，并且 5 和 10 先后加入 那么有：

       //5 加入: next[1] = 0; hs[5] = 1; hs[5] 是哈希值为5 的头，表示第一个原值在1的位置

       //10加入: next[2] = 1; hs[5] = 2; 表示第一个哈希值为5的在2，第二个在1，第三个不存在

     }

     int find(LL s)           //查找

     {

       int ha=abs(s)%Mod;     //计算哈希值

       int k=hs[ha];          //头

       while(k!=)

       {

         if(S[k]==s) return k;//找到

         k=next[k];           //下一个节点

       }

       return ;              //表示没找到

     }

 };

 int pow(int a,int b,int c)   //快速幂取模

 {

   LL ans=;

   a%=c;

   while(b>)

   {

     if(b&)

     {

       ans=(LL)ans*a%c;

     }

     b>>=;

     a=(LL)a*a%c;

   }

   return ans;

 }

 void exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)     //扩展欧几里得

 {

   if(b==)

   {

     d=a;

     x=;

     y=;

     return ;

   }

   exGcd(b,a%b,d,x,y);

   LL t=x;

   x=y;

   y=t-a/b*y;

 }

 int Gcd(int a,int b)            //最大公约数

 {

   return b?Gcd(b,a%b):a;

 }

 /*

   对于 A^x = B (mod C) 这个式子，如果无法保证C是素数，就得使用扩展Baby-Step-Giant-Step

   首先: 有 A^x = C * k + B ; 然后，我们一步步地消去 A 和 C 的公因子

   令 D 从 1 开始， 原式就可以化为 D*A^x = C*k+B;

                               --> D*A/(A,C)*A^(x-1) = C/(A,C)*k +B/(A,C);

                               --> ...

                               --> D*(A/(A,C))^(co))*A^(x-co) = C/((A,C)^co)*k + B/((A,C)^co)

   上面的那个循环知道 A、C互质时结束，没进行一次，D便等于 D*A/(A,C);

   最后，原式化为 D * A^(x-co) = B (mod C) 如果上面循环中，出现B无法整除的情况就表示无解退出

   这样，我们便保证了 D 和 A 都和 C 互质，这时候，便可以利用普通的Baby-Step-Giant-Step解决

   同时，要小心的一点就是，因为这样解出来的最小解是肯定大于co的，但如果真实解小于co，就会出

   错，所以我们可以事先枚举0 - p 的i，进行特判，这里的p=log(C)，因为每次消因子最少也要消去2，

   所以最多消log(C)次，co最大也就是这个了。

 */

 int BSGS(int A,int B,int C)     //扩展 Baby-Step-Giant-Step

 {

   Hash hp;

   for(int i=;i<;i++)         //枚举1 - log(C) ,可以稍大一点...

   {

     if(pow(A,i,C)==B) return i;

   }

   int tmp,co=;

   LL D=,k=;

   while((tmp=Gcd(A,C))!=)      //消因子循环

   {

     co++;

     if(B%tmp!=) return -;

     C/=tmp;

     B/=tmp;

     D=D*A/tmp%C;

   }

   hp.clear();

   int m=(int)(sqrt((double)C)-EPS);   //m=ceil(sqrt(C)),这里的ceil表示上取整

   for(int i=;i<m;i++,k=k*A%C)

     if(hp.find(k)==) hp.add(k);

   int d,x,y;

   for(int i=;i<m;i++)

   {

     exGcd(D,C,d,x,y);

     x=((LL)x*B%C+C)%C;                //不用进行B是否能整除d的判断，因为D和C永远互质

     int w=hp.find(x);

     if(w!=) return w-+co+i*m;

     D=D*k%C;                          //D最开始的时候和C互质，同时k也和C互质

   }

   return -;                          //找不到

 }

 int main()

 {

   int A,B,C;

   while(scanf("%d%d%d",&A,&C,&B)!=EOF)

   {

     if(B>=C)

     {

       printf("Orz,I can’t find D!\n");

       continue;

     }

     int t=BSGS(A,B,C);

     if(t==-)

       printf("Orz,I can’t find D!\n");

     else printf("%d\n",t);

   }

   return ;

 }

巴特西

Baby-Step-Giant-Step 很酷的算法

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