min-max 容斥

给定集合 \(S\) ，设 \(\max(S)\) 为 \(S\) 中的最大值，\(\min(S)\) 为 \(S\) 中的最小值，则：

\[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\]

这个东西叫 min-max容斥。

证明可以拿二项式反演证

例题

有 \(n\) 种卡片，每一秒都有 \(P_i\) 的概率获得一张第 \(i\) 种卡片，求每张卡片都至少有一张的期望时间。

记 \(\max(S)\) 为 \(S\) 中最后获得的那种卡片第一次获得的期望时间， \(\min(S)\) 为 \(S\) 中第一个获得的那种卡片第一次获得的期望时间，仍然满足：

\[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\]

又因为 \(\min(T)=\frac 1{\sum\limits_{i\in T}P_i}\)

直接算就行了。

记 \(\max(S)\) 为 \(S\) 中最后被或到的元素第一次被或到的期望时间， \(\min(S)\) 为 \(S\) 中第一个被或到的元素第一次被或到的期望时间，还是那个式子：

\[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\]

但是这里互相不是独立的，怎么算 \(\min(T)\) 呢

\[\min(T)=\frac 1{\sum_{S\cap T\ne \emptyset} P_S}\]

也就是所有与 \(T\) 有交的集合 \(S\) 的概率之和

正难则反，求出所有与 \(T\) 交集为空的集合 \(S'\) 的概率之和，则它们的补集就是与 \(T\) 有交的集合 \(S\)。

求出 \(S'\) 的概率之和拿 \(1\) 再减掉就好啦。这个东西拿 \(FWT\) 或者 \(FMT\) 都阔以优化一哈。

\[\max(S,k)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-k}\cdot C(|T|-1,k-1)\cdot \min(T)\]

其中 \(\max(S,k)\) 表示 \(S\) 集合中第 \(k\) 大的元素。

全网就这一道 kth min-max 容斥orz

首先式子还是那个式子，但是这里的 \(n\) 是 \(1000\)，不能 \(2^n\) 枚举子集。考虑递推系数求解。

有 \(\min(T)=\frac m{sum(T)}\)，其中 \(sum(T)=\sum\limits_{i\in T}p_i\)

设 \(f[i][j][x]\) 表示前 \(i\) 个元素，选的 \(sum(T)\) 为 \(j\)，且将 \(k=x\) 代入式子后前面那一大串系数的值。

这样设状态的原因就是把等价类划分到了一起，并且容易递推。

由组合数的性质 \(C_n^m=C_n^{n-m},C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)

可以列出 \(DP\) 转移 \(f[i][j][x]=f[i-1][j][x]+(f[i-1][j-p[i]][x-1]-f[i-1][j-p[i]][x])\)

可以拿组合数证。