Description

给你一个有向图，要求重新建出一张点数相同有向图，使得点的联通关系和原图一致且边数最小。

Solution

显然对于图上的一个强连通分量跑个缩点然后把每个强连通分量都变成一个环即可。

至此，原图转化为一个\(\text{DAG}\)。

一个结论：建出来的图中出现的边一定在原图中出现过。

证明：

若新图中的一条边在原图中没有出现，则有两种情况：

1.这条边引入了新的联通关系，则不符题意。

2.否则，把这条边删掉会更优。

暴力：

所以，我们只需考虑原图中的边是否需要被留下就行了。

考虑原图中的一条边\((u,v)\)

如果还有一个点\(s\)，使得存在\(u\)到\(s\)的路径，也存在\(s\)到\(v\)的路径

那么我们发现，边\((u,v)\)的效果可以被\(u\)经\(s\)到\(v\)的路径所完全取代，且这条路径还可以产生好的效果。

所以边\((u,v)\)应当被删去

这样我们得到一个暴力算法，枚举每条边，然后对于每条边\(O(n)\)枚举另外一个点，直接判断即可

这样的复杂度是\(O(nm)\).

优化：

考虑优化，拓扑排序对于一个点状压处理出这个点能够到达的点集\(F\)和能够到达这个点的点集\(G\)，实际上一条边\((u,v)\)需要被保留等价于\(F_u \cup G_v = \emptyset\)

\(\text{bitset}\)维护一下,复杂度为\(O(\frac{nm}{\omega})\)

Code

点我看代码(✺ω✺)

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <map>

#include <string>

#include <bitset>

#define LL long long

#define RE register

#define IN inline

using namespace std;

IN int read() {

	int res = 0; char ch = getchar();

	for(; !isdigit(ch); ch = getchar());

	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) res = (res << 1) + (res << 3) + (ch ^ 48);

	return res;

}

int cnt1, timer, tot, dfn[1010], low[1010], bel[1010], siz[1010], la[1010], stk[1010], top, ins[1010], c[1010], r[1010], head, tail, que[1010], n, ed[1010][1010], T, k, ans;

struct Edge {

	int nxt, to;

}e[1000100];

inline void build(int u, int v) {e[++cnt1] = (Edge){la[u], v}, la[u] = cnt1;}

void Tarjan(int k) {

	dfn[k] = low[k] = ++ timer, ins[stk[++top] = k] = 1;

	for(int i = la[k], v; i; i = e[i].nxt) {

		v = e[i].to;

		if(!dfn[v]) Tarjan(v), low[k] = min(low[k], low[v]);

		else if(ins[v]) low[k] = min(low[k], low[v]);

	}

	if(dfn[k] == low[k]) {

		bel[k] = ++ tot, siz[tot] = 1, ins[k] = 0;

		while(stk[top] ^ k) bel[stk[top]] = tot, ins[stk[top--]] = 0, ++ siz[tot]; -- top;

	}

	return;

}

bitset<1001> f[1001], g[1001];

void TopoSort() {

	for(int i = 1; i <= tot; ++i)

		for(int j = 1; j <= tot; ++j)

			if(ed[i][j]) ++c[i], ++r[j];

	head = tail = 0;

	for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(r[i] == 0) que[++tail] = i;

	while(++head <= tail) {

		int cur = que[head];

		for(int i = 1; i <= tot; ++i)

			if(ed[cur][i]) {

				g[i] |= g[cur], g[i][cur] = 1;

				if(!(--r[i])) que[++tail] = i;

			}

	}

	head = tail = 0;

	for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(c[i] == 0) que[++tail] = i;

	while(++head <= tail) {

		int cur = que[head];

		for(int i = 1; i <= tot; ++i)

			if(ed[i][cur]) {

				f[i] |= f[cur], f[i][cur] = 1;

				if(!(--c[i])) que[++tail] = i;

			}

	}

	return ;

}

map <string, int> mp;

char s[1000];

int main() {

	T = read();

	while(T --) {

		n = read();

		tot = ans = cnt1 = 0;

		for(int i = 1; i <= n; ++i) la[i] = siz[i] = dfn[i] = low[i] = 0;

		for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) ed[i][j] = 0;

		mp.clear();

		for(int i = 1, h; i <= n; ++i) {

			scanf("%s%d",s,&k);

			if(!mp[s]) mp[s] = ++tot;

			h = mp[s];

			for(;k;--k) {

				scanf("%s",&s);

				if(!mp[s]) mp[s] = ++ tot;

				build(h, mp[s]);

			}

		}

		tot = 0;

		for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!dfn[i]) Tarjan(i);

		for(int i = 1; i <= tot; ++i) f[i].reset(), g[i].reset();

		for(int i = 1; i <= n; ++i)

			for(int j = la[i]; j; j = e[j].nxt)

				if(bel[i] ^ bel[e[j].to]) ed[bel[i]][bel[e[j].to]] = 1;

		for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(siz[i] > 1) ans += siz[i];

		TopoSort();

		for(int i = 1; i <= tot; ++i)

			for(int j = 1; j <= tot; ++j) {

				if(ed[i][j] && i ^ j)

				if((f[i] & g[j]).none()) ++ans;

			}

		printf("%d\n",ans);

	}

}

巴特西

GMOJ3284 [GDOI2013] 重构题解

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