正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF932G

题目大意

给出一个长度为\(n\)的字符串，将其分为\(k\)段（\(k\)为任意偶数），记为\(p\)。要求满足对于任意\(i\)都有\(p_i=p_{k-i+1}\)。求方案数。

\(1\leq n\leq 10^6\)

解题思路

考虑将字符串化为\(S_1S_nS_2S_{n-1}S_3S_{n-2}...\)这样的形式，可以发现对于原本相同的段在这里就被表示为了一个偶回文子串。

那么问题就变为了划分若干个偶回文子串。设\(f_i\)表示前\(i\)个的方案的话有一种比较简单的做法，建立\(PAM\)后求出每个前缀的所有偶回文后缀，然后暴力转移。

但是这样的是\(O(n^2)\)的，时间复杂度不符合要求，考虑优化。对于一个回文串来说它的所有回文后缀就是它的\(border\)。而\(broder\)有一个性质就是所有\(broder\)的长度可以被划分成\(log\)个等差数列。

我们可以在\(PAM\)上维护这些等差数列，记录\(top_i\)表示节点\(i\)所在的等差数列的顶部，然后每次使用\(top\)往上跳。加入新的\(x\)节点（或者覆盖以前的已经有的节点）的时候累计一下自己作为末尾时所在等差数列方案和就好了

时间复杂度\(O(n\log n)\)

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1e6+10,P=1e9+7;

int n,cnt,pos[N],len[N],dis[N],fa[N],top[N],ch[N][26];

char t[N],s[N];int f[N],g[N];

int jump(int x,int p){

	while(s[p-len[x]-1]!=s[p])x=fa[x];

	return x;

}

int Insert(int x,int p){

	x=jump(x,p);

	int c=s[p]-'a';

	if(!ch[x][c]){

		++cnt;len[cnt]=len[x]+2;

		int y=jump(fa[x],p);

		fa[cnt]=ch[y][c];y=cnt;

		dis[y]=len[y]-len[fa[y]];

		if(dis[y]!=dis[fa[y]])top[y]=y;

		else top[y]=top[fa[y]];ch[x][c]=y;

	}

	return ch[x][c];

}

int main()

{

	scanf("%s",t+1);n=strlen(t+1);

	if(n&1)return puts("0")&0;

	for(int i=1;i<=n;i+=2)s[i]=t[i/2+1];

	for(int i=2;i<=n;i+=2)s[i]=t[n-i/2+1];

	len[1]=-1;fa[0]=top[1]=cnt=1;

	for(int i=1;i<=n;i++)

		pos[i]=Insert(pos[i-1],i);

	f[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		for(int x=pos[i];x;x=fa[top[x]]){

			g[x]=f[i-len[top[x]]];

			if(x!=top[x])(g[x]+=g[fa[x]])%=P;

			if(!(i&1))(f[i]+=g[x])%=P;

		}

	}

	printf("%d\n",f[n]);

	return 0;

}

巴特西

CF932G-Palindrome Partition【PAM】

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code

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