\(\mathcal{Description}\)

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定义有向图 \(G=(V,E)\)，\(|V|=n\)，\(\lang u,v\rang \in E \Leftrightarrow u<v\)。求一个对 \(E\) 的染色 \(f\)，使得 \(\not\exist \lang v_1,v_2,\cdots,v_{k+1} \rang, |\{f(v_i,v_{i+1})\mid i\in[1,k]\}|=1\)，同时最小化 \(f\) 的值域大小。

\(2\le k<n\le10^3\)。

\(\mathcal{Solution}\)

设 \(f\) 的值域大小为 \(c\)，断言：\(c\ge\lceil\log_k n\rceil\)。

证明该结论的等价表述是，若 \(f\) 值域大小为 \(c\)，则 \(n\le k^c\)。当 \(c=0\) 时显然成立。接下来对 \(c\) 进行归纳：

任取一个 \(f\) 值域大小为 \(c\) 的，被合法染色的图 \(G\)，并任取某种颜色 \(x\)，据此将点集 \(V\) 划分为 \(V_1,V_2,\cdots,V_t\)，使得 \(V_i\) 的导出子图中不存在颜色为 \(x\) 的边。这些点集之间的连边颜色全部为 \(x\)，所以 \(t\le k\)。而仅考虑某个 \(V_i\) 的导出子图，它至多用 \(c-1\) 中颜色染色，由归纳假设，\(|V_i|\le k^{c-1}\)，继而 \(|V|=\sum |V_i|\le k\cdot k^{c-1}=k^c\)。 \(\square\)

模仿归纳方法得到构造方法：划分点集，将点集之间的边染色，而后递归处理。复杂度上限为 \(\mathcal O(n^2)\)。

\(\mathcal{Code}\)

/*+Rainybunny+*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )

#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

const int MAXN = 1e3;

int n, k, mxc, ans[MAXN + 5][MAXN + 5];

inline void solve( const int l, const int r, const int clr ) {

    if ( l == r ) return ;

    if ( clr > mxc ) mxc = clr;

    int s = ( r - l + k ) / k;

    for ( int i = l; i <= r; i += s ) {

        solve( i, std::min( i + s - 1, r ), clr + 1 );

        rep ( u, l, i - 1 ) rep ( v, i, std::min( i + s - 1, r ) ) {

            ans[u][v] = clr;

        }

    }

}

int main() {

    scanf( "%d %d", &n, &k );

    solve( 1, n, 1 );

    printf( "%d\n", mxc );

    rep ( i, 1, n ) rep ( j, i + 1, n ) printf( "%d ", ans[i][j] );

    putchar( '\n' );

    return 0;

}

巴特西

Solution -「CF 1586F」Defender of Childhood Dreams

\(\mathcal{Description}\)

\(\mathcal{Solution}\)

\(\mathcal{Code}\)

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