Codeforces 961F - k-substrings（二分+哈希）

介绍一种奇怪的 \(\Theta(n\log n)\) 的奇怪做法。

注意到这个“border 的长度必须是奇数”的条件非常奇怪，同时我们待求解的字符串也有一些比较奇妙的性质——它们的左右端点都关于中线轴对称，即 \(l+r=n+1\)。我们考虑 border 的性质与 \(l+r=n+1\) 的条件联系起来。对于一个 \(s[l...r]\) 的长度为 \(len\) 的 border（\(len\) 为奇数），假设 \(r'=l+len-1,l'=r-len+1\)，那么必然有 \(s_l\) 与 \(s_{l'}\)、\(s_{l+1}\) 与 \(s_{l'+1}\)，……，\(s_r\) 与 \(s_{r'}\) 均匹配。在下文中，用“左 border”代替 \(s[l...r']\)，“右 border”代替 \(s[l'...r]\)。

然后我们惊奇地发现，如果我们记 \(m_l=\dfrac{l+r'}{2},m_r=\dfrac{l'+r}{2}\)，那么有 \(m_l+m_r=n+1\)，并且 \(m_l\) 与 \(m_r\) 也应匹配。画出图来大概是这个样子，其中黑线为中线 \(\dfrac{n+1}{2}\)，绿线为左 border 的两个端点，褐色的线为右 border 的两个端点：

因此我们考虑枚举 \(m_l\)，那么可以发现，由于 \(m_l\) 是左 border 的中点，\(m_r\) 是右 border 的中点，因此在上图中，两段黄色部分对应的字符串必须相同，两段紫色部分也同理，并且黄色和紫色部分长度也应相同。也就是说 \(s[l...m_l],s[l'...m_r]\) 是 \(s[1...m_l],s[1...m_r]\) 两段前缀的 LCS，\(s[m_l...r'],s[m_r...r]\) 是 \([l...n],s[r...n]\) 的两段后缀的 LCP，也就是说，我们可以通过二分+哈希找到 \(s[l...m_l]\) 这段区间的范围，不妨设其为 \([1,mn]\)。得到了这些信息之后，又该怎样求解答案呢？对于每个左端点 \(l\)，我们考虑设 \(M_l\) 表示 \([l,n+1-l]\) 的所有长度为奇数的 border 中，左 border 的中点的最大值，显然只要左 border 的中点越靠右，对应的 border 长度也就越大，而不难发现，我们求出 \(m_l,m_r\) 可以延伸的范围 \([1,mn]\) 之后，操作等价于令 \(M_{m_l-mn+1},M_{m_l-mn+2},\cdots,M_{m_l}\) 均对 \(m_l\) 取 \(\max\)，差分一下用个 set 维护即可。

const int MAXN=1e6;

const int MOD=1004535809;

const int BS=193;

int n;char s[MAXN+5];

int pw[MAXN+5],hsh[MAXN+5];

vector<int> add[MAXN+5],del[MAXN+5];

int gethsh(int l,int r){return (hsh[r]-1ll*hsh[l-1]*pw[r-l+1]%MOD+MOD)%MOD;}

int main(){

	scanf("%d%s",&n,s+1);

	for(int i=(pw[0]=1);i<=MAXN;i++) pw[i]=1ll*pw[i-1]*BS%MOD;

	for(int i=1;i<=n;i++) hsh[i]=(1ll*hsh[i-1]*BS+s[i])%MOD;

	for(int i=1;i<=n>>1;i++) if(s[i]==s[n+1-i]){

		int l=1,r=i,L=0,R=0;

		while(l<=r){

			int mid=l+r>>1;

			if(gethsh(i-mid+1,i)==gethsh(n+1-i-mid+1,n+1-i)) L=mid,l=mid+1;

			else r=mid-1;

		} l=1,r=i;

		while(l<=r){

			int mid=l+r>>1;

			if(gethsh(i,i+mid-1)==gethsh(n+1-i,n-i+mid)) R=mid,l=mid+1;

			else r=mid-1;

		} int mn=min(L,R);

		add[i-mn+1].pb(i);del[i+1].pb(i);

	} multiset<int> st;

	for(int i=1;i<=(n+1>>1);i++){

		for(int x:add[i]) st.insert(x);

		for(int x:del[i]) st.erase(st.find(x));

		if(st.empty()) printf("-1 ");

		else printf("%d ",((*st.rbegin())-i+1)*2-1);

	}

	return 0;

}

巴特西

Codeforces 961F - k-substrings（二分+哈希）

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