Codeforce 1383 B. GameGame 解析(思維、博弈)

今天我們來看看CF1383B

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題目

兩個人在玩遊戲，有一個長度為\(n\)的數列\(a\)，每次每個人選一個數字和目前自己的分數XOR(初始為0分)，最後拿到最多分數的人贏，求誰會贏?

前言

博弈的題目一直不是很會做，這次這題有個我平時可能不會想到的新想法:可以嘗試讓其中一個玩家跟隨另一個玩家做動作，如果被跟隨的那個玩家最後會輸，那麼跟隨的那個玩家就會贏。這是因為我們給出了一個明確的移動方法。

想法

首先要知道一件事:如果一個玩家能夠使得分數有最高位的bit，並且另外一個人沒有，那麼就贏了。這是因為在右邊的bit不管有多少，都比不上最左邊的bit(正式來說:\(2^n>\sum\limits_{i=0}^{n-1}2^i\ \forall n\in\mathbb{N}_{\ge1}\))。

那麼我們可以先統計對於bit有幾個元素有這個bit，接著我們從最左邊的bit開始「考慮」:

分為兩種情況:

這個bit有偶數個，那麼由於兩個玩家只有2種拿的方法
- 偶偶
- 奇奇
不管玩家怎麼拿，這個bit最後的狀態都是一樣的，所以我們可以完全不用考慮這個bit。
這個bit有奇數個，也就是玩家要去搶這個bit: 首先另\(x=\)有這個bit的元素的數量，\(y=n-x\)也就是剩下的數字的數量(這個bit是\(0\))。由於玩家們拿了\(4\)個\(1\)等同於沒有改變狀態，因此有以下的分類:
1. \(x\mod 4=1\) and \(y\mod 2=0\): 先手先拿一個\(1\)，接著完全照搬後手的行動。如此易發現先手會贏。
2. \(x\mod 4=1\) and \(y\mod 2=1\): 先手先拿一個\(1\)，接著完全照搬後手的行動，直到後手拿走了最後一個\(0\)，那麼接著就剩下要拿偶數個\(1\)，並且是先手先拿。由於是\(x\mod 4=1\)，所以最後是先手贏。
3. \(x\mod 4=3\) and \(y\mod 2=0\): 後手完全照搬先手的行動，最後先手一定會拿到偶數個\(1\)，所以後手贏。
4. \(x\mod 4=3\) and \(y\mod 2=1\): 先手先拿一個\(0\)，那麼就是3.的情況了，先手贏。

程式碼:

const int _n=1e5+10;

int t,n,a[_n],cnt[32];

main(void) {cin.tie(0);ios_base::sync_with_stdio(0);

  cin>>t;while(t--){

    cin>>n;rep(i,0,n)cin>>a[i]; memset(cnt,0,sizeof cnt);

    rep(j,0,30)rep(i,0,n)cnt[j]+=((a[i]&(1<<j))?1:0);

    per(i,0,30){

      if(cnt[i]%2==0)continue;

      int x=cnt[i],y=n-x;

      if(x%4==3 and y%2==0){cout<<"LOSE\n";goto A;}

      else {cout<<"WIN\n";goto A;}

    }cout<<"DRAW\n";

    A:;

  }

  return 0;

}

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