[bzoj3505 Cqoi2014] 数三角形 (容斥+数学)
2024-09-07 02:25:05
Description
给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。
注意三角形的三点不能共线。
Input
输入一行,包含两个空格分隔的正整数m和n。
Output
输出一个正整数,为所求三角形数量。
Sample Input
2 2
Sample Output
76
HINT
1<=m,n<=1000
Solution
首先思路肯定是随意三个点方案-三点共线方案
随意三个点方案随意求
主要求三点共线:
有个神奇的结论:节点坐标gcd-1 是矩形内的点个数 也就是这个矩形确定两端点的方案数
只要枚举一个矩形大小然后平移什么的就行了
PS:注意特殊情况
Code
//By Menteur_Hxy
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main() {
LL n,m,t,ans;
scanf("%lld %lld",&n,&m);
t=(n+1)*(m+1);
ans=t*(t-1)*(t-2)/6;
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++) {
t=(gcd(i,j)-1);
if(t<=0) continue;
t*=(n-i+1)*(m-j+1);
if(i&&j) ans-=t<<1;
else ans-=t;//"特殊情况"
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
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