证明碰撞集问题(Hitting Set)是NP-complete
2024-10-13 21:09:28
证明碰撞集问题(Hitting Set)是NP-complete
Problem
In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1, S2, ... , Sn}
and a budget b, and we wish to find a set H of size ≤ b
which intersects every Si, if such an H exists. In other words, we want H ∩ Si ≠ ∅
for all i.
Show that HITTING SET is NP-complete.
Solution
首先,HITTING SET是一个NP问题。
对于H中的所有元素,和Si逐个比较是否有交集并且大小小于等于b,这个操作显然是多项式时间复杂度的问题。
其次,Vertex Cover是一个NP难问题。
由书本P241、242,可知最小顶点覆盖问题(Vertex Cover)是NP难问题。
最后,将Vertex Cover归约到HITTING SET,即可证明碰撞集问题是一个NP完全问题。
假设要求图G(V, E) 的Vertex Cover,可以建立一个HITTING SET实例,其中S1, S2, ... , Sn是图G的各条边,比如:S1={v1, v2},这样可以构造出|E|个集合,求图G的Vertex Cover,可以转化成求这|E|个集合的HITTING SET。Vertex Cover的顶点就是H的元素,Vertex Cover的个数即为b。
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