BZOJ 球形空间产生器解题报告(高斯消元)

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

我们可以知道，一个球体上所有点到球心的距离相等，因此只需要求出一个点（x1,x2,x3,...,xn），使得：

Σⁿ_j=0(a_i,j-x_j)²=c

其中c是常数，该方程由n+1个n元二次方程构成，不是线性方程组。但我们可以通过相邻的两个方程作差，把它变成n个n元方程，同时消去常数c

于是我们可以得到下面这个阶梯矩阵

2(a_1.1-a_2.1) 2(a_1,2-a_2,2) ... 2(a_1,n-a_2,n) Σⁿ_j=1(a²₁_,j-a² ₂_,j)

2(a₂_.1-a₃_.1) 2(a₂_,2-a₃_,2) ... 2(a₂_,n-a₃_,n) Σⁿ_j=1(a² ₂_,j-a²₃_,j)

2(a_n_.1-a_n+1,₁) 2(a_n_,2-a_n+1_,2) ... 2(a_n_,n-a_n+1_,n) Σⁿ_j=1(a²_n_,j-a²_n+1_,j)

高斯消元即可

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=+;

int n;

double a[maxn][maxn],c[maxn][maxn],b[maxn];

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for (int i=;i<=n+;i++)

    for (int j=;j<=n;j++)

    scanf("%lf",&a[i][j]);

    for (int i=;i<=n;i++)

    for (int j=;j<=n;j++)

    {

        c[i][j]=*(a[i][j]-a[i+][j]);

        b[i]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+][j]*a[i+][j];

    }

    for (int i=;i<=n;i++)

    {

        for (int j=i;j<=n;j++)

        if (fabs(c[j][i])>1e-){

            for (int k=;k<=n;k++) swap(c[i][k],c[j][k]);

            swap(b[i],b[j]);

        }

        for (int j=;j<=n;j++){

            if (i==j) continue;

            double rate=c[j][i]/c[i][i];

            for (int k=i;k<=n;k++) c[j][k]-=rate*c[i][k];

            b[j]-=rate*b[i];

        }

    }

    for (int i=;i<=n;i++) printf("%.3f ",b[i]/c[i][i]);

    return ;

}

巴特西

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