平衡树学习笔记（2）-------Treap
2024-10-20 15:54:12
Treap
上一篇：平衡树学习笔记（1）-------简介
Treap是一个玄学的平衡树
为什么说它玄学呢？ 还记得上一节说过每个平衡树都有自己的平衡方式吗？
没错，它平衡的方式是。。。。。。rand！！！！
注意，Treap是不依靠旋转平衡的！！
我认为它的思想是最好理解的，代码也简洁易懂（虽然慢了点）
而且灵活性较高，尤其是平衡树合并qwq
洛谷P3369普通平衡树跑了600多ms
\(\color{#9900ff}{定义}\)
struct node {
node *ch[2];
int siz, val, key;
node(int siz = 1, int val = 0, int key = rand()): siz(siz), val(val), key(key) {
ch[0] = ch[1] = NULL;
}
void upd() { siz = (ch[0]? ch[0]->siz : 0) + (ch[1]? ch[1]->siz : 0) + 1; }
int rk() { return ch[0]? ch[0]->siz + 1 : 1; }
}pool[maxn], *tail, *root;
siz为子树大小，val为点权，key为rand
\(\color{#9900ff}{基本操作}\)
1、split
split，顾名思义，就是分裂的意思
作用是把一棵树分裂成为两棵树
但是总不能随便分裂吧。。
因此，其内有4个参数
split（a，b，c，val）代表把以a为根的树分裂，分裂后的两棵树树根分别为b，c，保证树b上的所有节点权值\(\leq val\)，树c上的所有点权\(\geq val\)
要获得分裂后树的两根，所以a，b要传址，即split（node *a,node *&b,node *&c,int val）
放上代码
void split(node *o, node *&a, node *&b, int val) {
if (!o) return (void)(a = b = NULL); //递归边界，当前位置为空，分裂后当然都为空
if (o->val <= val) a = o, split(o->ch[1], a->ch[1], b, val), a->upd();
//小于等于val的要在a里面，所以先直接让a=o，为什么呢
//既然o->val<=val,显然o的左子树所有值都小于val，因此这些点都是a的
//但是我们不能保证o右子树的所有点<=val，因此递归向下来构建a的右子树，本层对b无贡献，所以还是b
else b = o, split(o->ch[0], a, b->ch[0], val), b->upd();
//同上
//别忘了维护性质
//a或b树会改变，所以要维护
}
2、merge
merge，顾名思义，就是合并的意思
作用是把两棵树合并成为两棵树（有分裂就得有合并呗）
这回就是随便合并了。。。。。。
怎么随便合并呢？ 没错，rand！
其内有3个参数
merge（a，b，c）代表把以b，c为根的两棵树合并，合并后的树树根为a
要获得合并后树根，所以a要传址，即merge（node *&a,node *b,node *c）
放上代码
void merge(node *&o, node *a, node *b) {
if (!a || !b) return (void)(o = a? a : b); //有一个为空，则等于另一个（如果另一个也是空其实就是空了）
//这个key就是rand，不解释
//方法跟split差不多，这样也好记qwq
//反正瞎搞总比不搞弄成一条链强。。。。。。
//这样就可以使极端情况尽量少
if (a->key <= b->key) o = a, merge(o->ch[1], a->ch[1], b);
else o = b, merge(o->ch[0], a, b->ch[0]);
o->upd();
//别忘了维护性质
}
至此，基本操作已经完成（是不是很简单？）
\(\color{#9900ff}{其它操作}\)
1、插入
既然有了基本操作，肯定是不能暴力插了。。。
其实每个操作都要用到基本操作的（可见其重要性）
void ins(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
//定义两个空节点
//作用：一会分裂的时候作为两棵树的根，起一个承接作用
node *z = new(tail++) node(1, val);
//定义要插入的节点
split(root, x, y, val);
//因为要保证平衡树的性质，所以插入的位置必须要合适
//我们把所有<=val的点都分给x，剩下的分给y
//这样原来以root为根的数分成了两个
//我们要把z插进去
//怎么插♂呢
//可以把z一个点看成一棵树
//直接暴力合并就行了
merge(x, x, z);
merge(root, x, y);
}
//没了？
//没了！
2、删除
删除其实也很简单，几乎就是围绕split，merge暴力操作
void del(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL, *z = NULL;
split(root, x, y, val);
split(x, x, z, val - 1);
//树x的所有点权都小于val
//树y的所有点权都大于val
//综上，树z的点权等于val
//所以。。。。。。
merge(z, z->ch[0], z->ch[1]);
//我们只删除一个val，所以剩下的要合并，别忘了
merge(x, x, z);
merge(root, x, y);
//把分崩离析（<----瞎用成语）的树恢复原状
}
3、查询数x的排名
排名，可以理解为比x小的数的个数+1（理解一下，这是解决此操作的关键）
所以我们要找到比x小的数的个数
int rnk(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
split(root, x, y, val - 1);
//把所有小于val的点分走
int t = (x? x->siz : 0) + 1; //注意判空
//x作为所有合法点的根，他的大小不正是我们要找的比val小的数的个数吗？
//加一就是排名！
merge(root,x,y);
//不要过于兴奋，你的树还没有合并！！！！
return t;
}
4、查询第k大的数
这个是唯一不借助基本操作的操作
node *kth(node *o, int k) {
//第k大不就是排名为k的数么
//这不就是操作3的逆操作吗
while(o->rk() != k) { //暴力找
if(o->rk() < k) k -= o->rk(), o = o->ch[1]; //减去左边的贡献
else o = o->ch[0];
}
return o;
}
5、前驱
int pre(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
split(root, x, y, val - 1);
//分离所有小于y的数
node *z = kth(x, x->siz);
//既然pre为小于val的数中最大的一个，我们就找x树中的最大的那个不就行了？
merge(root, x, y);
return z->val;
}
6、后继
int nxt(int val) {
//跟上面只是稍稍有点不同而已
node *x = NULL, *y = NULL;
split(root, x, y, val);
//把所有小于等于val的点都分走，注意这里可以取等号！
//那么y中的点都大于val
//在其中找最小的
node *z = kth(y, 1);
merge(root, x, y);
return z->val;
}
没了。。。。。。
Treap就没了。。。。。。
放上完整代码
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 5;
struct Treap {
protected:
struct node {
node *ch[2];
int siz, val, key;
node(int siz = 1, int val = 0, int key = rand()): siz(siz), val(val), key(key) {
ch[0] = ch[1] = NULL;
}
void upd() { siz = (ch[0]? ch[0]->siz : 0) + (ch[1]? ch[1]->siz : 0) + 1; }
int rk() { return ch[0]? ch[0]->siz + 1 : 1; }
}pool[maxn], *tail, *root;
void split(node *o, node *&a, node *&b, int val) {
if (!o) return (void)(a = b = NULL);
if (o->val <= val) a = o, split(o->ch[1], a->ch[1], b, val), a->upd();
else b = o, split(o->ch[0], a, b->ch[0], val), b->upd();
}
void merge(node *&o, node *a, node *b) {
if (!a || !b) return (void)(o = a? a : b);
if (a->key <= b->key) o = a, merge(o->ch[1], a->ch[1], b);
else o = b, merge(o->ch[0], a, b->ch[0]);
o->upd();
}
node *kth(node *o, int k) {
while(o->rk() != k) {
if(o->rk() < k) k -= o->rk(), o = o->ch[1];
else o = o->ch[0];
}
return o;
}
public:
Treap() { root = NULL; tail = pool; }
int rnk(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
split(root, x, y, val - 1);
int t = (x? x->siz : 0) + 1;
merge(root, x, y);
return t;
}
void ins(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
node *z = new(tail++) node(1, val);
split(root, x, y, val);
merge(x, x, z);
merge(root, x, y);
}
void del(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL, *z = NULL;
split(root, x, y, val);
split(x, x, z, val - 1);
merge(z, z->ch[0], z->ch[1]);
merge(x, x, z);
merge(root, x, y);
}
int pre(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
split(root, x, y, val - 1);
node *z = kth(x, x->siz);
merge(root, x, y);
return z->val;
}
int nxt(int val) {
node *x = NULL, *y = NULL;
split(root, x, y, val);
node *z = kth(y, 1);
merge(root, x, y);
return z->val;
}
int kth(int k) { return kth(root, k)->val; }
}s;
int main() {
for(int p, T = in(); T --> 0;) {
p = in();
if(p == 1) s.ins(in());
if(p == 2) s.del(in());
if(p == 3) printf("%d\n", s.rnk(in()));
if(p == 4) printf("%d\n", s.kth(in()));
if(p == 5) printf("%d\n", s.pre(in()));
if(p == 6) printf("%d\n", s.nxt(in()));
}
return 0;
}
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