UVA12163 游戏

题目大意

现在有两个人在一个n个结点的有向图上玩一个双人游戏，保证图中无环和自圈。游戏的规则如下：
1.初始的时候$i$号点有一个正权值$value_i$
2.两名玩家依次操作，每个玩家在当前回合可以选择一个具有如下性质的点
-该点的权值为正
-该点具有至少一条出边
如果不存在这样子的点，那么当前回合的玩家输掉整局游戏
3.当某名玩家选定一个点以后，将该点的$value$减一，并将$K_i$个该点出边连向的点的$value$加一，这$K_i$个点由当前玩家选择，并允许选择重复的点。
现在给出整个有向图和$K_i$，每次询问给定每个点的$value$，判断先手玩家是否存在必胜策略。

$n\leq 100$，每个点的出边数量不超过$17$。

题解

由于每一步操作只令$value_i$的值$-1$，所以可以把“在$x$点有$1$的权值”看做“以$x$点为起点开始一局游戏”。

考虑在$x$点做两局游戏一定是后手赢，因为不论执先手的人在某一局子游戏进行操作，后手只需要在另一局进行对称操作即可。

所以只关心$value$的奇偶性。

由于每一个点的出边不超过$17$，所以以一个点为起点的子游戏，其后继是可枚举的。

具体的，对于没有出边的点$x,Sg_x=0$。

否则枚举每一条出边是否改变出边指向的点$y$的游戏的次数的奇偶性，将游戏次数奇偶性被改变的后继的点集记为$S$，设这$S$个点的$Sg$值的异或和为$F_S$，则$$Sg_x=mex\{F_S\}(|S|\leq K_i,|S|\equiv K_i\mod x)$$

即枚举每一个$x$点出发能到达的所有后继状态，每一个后继状态都有若干个子游戏组成，其根据$Sg$定理，$Sg$值为每一个子游戏的$Sg$值异或和，所以对所有个后继状态$Sg$值求$mex$即可。

对于每一次询问，对于所有的$x$满足以$x$点进行了奇数次游戏，则将这些$Sg_x$异或起来和，若为$0$则先手必败，负责先手必胜。

复杂度为$O(T(2^{17}n+Qn))$

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define LL long long

#define M 200

#define N 540000

using namespace std;

int read(){

    int nm=0,fh=1; int cw=getchar();

    for(;!isdigit(cw);cw=getchar()) if(cw=='-') fh=-fh;

    for(;isdigit(cw);cw=getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');

    return nm*fh;

}

int n,m,sz[M],to[M][20],tmp,K[M],val,sg[M],bt[N],G[N],F[N];

void link(int x,int y){to[x][++sz[x]]=y;} bool vs[N];

void DP(int x){

    if(sg[x]!=-1) return; if(!sz[x]){sg[x]=0;return;}

    for(int i=1;i<=sz[x];i++) DP(to[x][i]);

    for(int i=1;i<=sz[x];i++) G[1<<(i-1)]=sg[to[x][i]];

    int MAXN=(1<<sz[x]); F[0]=sg[x]=0;

    for(int i=1;i<MAXN;i++) F[i]=(F[i^(i&(-i))]^G[i&(-i)]);

    for(int i=0;i<MAXN;i++) if(bt[i]<=K[x]&&!((K[x]^bt[i])&1)) vs[F[i]]=true;

    while(vs[sg[x]]) ++sg[x]; for(int i=0;i<MAXN;i++) vs[F[i]]=false;

}

int main(){

    for(int i=1;i<(1<<19);i++) bt[i]=bt[i>>1]+(i&1);

    memset(vs,false,sizeof(vs));

    for(int Qs=read(),nq=1;nq<=Qs;nq++,putchar('\n')){

        printf("Game#%d:\n",nq),memset(sg,-1,sizeof(sg));

        n=read(),m=read(),memset(sz,0,sizeof(sz));

        for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read();link(x+1,y+1);}

        for(int i=1;i<=n;i++) K[i]=read();

        for(int i=1;i<=n;i++) DP(i);

        for(int rm=1,rs=0,Qr=read();rm<=Qr;rm++,rs=0){

            for(int i=1;i<=n;i++) val=read(),rs^=((val&1)*sg[i]);

            printf("Round#%d: ",rm),puts(rs?"WINNING":"LOSING");

        }

    }

    return 0;

}

巴特西

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