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向大(hei)佬(e)实力学(di)习(tou)

Description

给定一个序列，初始为空。现在我们将1到N的数字插入到序列中，每次将一个数字插入到一个特定的位置。每插入一个数字，我们都想知道此时最长上升子序列长度是多少？

Input

第一行一个整数N，表示我们要将1到N插入序列中，接下是N个数字，第k个数字Xk，表示我们将k插入到位置Xk（0<=Xk<=k-1,1<=k<=N）

Output

N行，第i行表示i插入Xi位置后序列的最长上升子序列的长度是多少。

Sample Input

3

0 0 2

Sample Output

1

1

2

HINT

100%的数据 n<=100000

其实这道题算是一道裸题了，拿来练习一下模板。看到这种活动的插入，就能立即想到平衡树。至于最长上升子序列，如果每插入一次就求一次，再优化都要超时。于是我们就找找性质，发现：由于是有序插入，后插入的一定大，那么每插入一个点，以此点结尾的最长上升子序列就不受后面点的干扰。那么在插入完毕后求一次最长上升子序列就可以了。之后的输出需注意要求的是整个数列的答案，还要在小于等于插入数的dp数组中求max。因为这个我又wa了一遍

至于二分优化，其实也算是练手。简单梳理一下，也便自己理解更透彻。要开一个单调栈（？），存两个元素，一个为值，一个为下标。

以 6 2 1 4 3 为例，从左往右扫

6进栈 >6(1)

dp[1]=1;

2比栈顶元素小，要去替换，二分到6，替换>2(2)

dp[2]=1;

1同理>1(3)

dp[3]=1;

4>1，4直接进栈>1(3) 4(4)

dp[4]=dp[3]+1=2;

3二分换4，>1(3) 3(5)

dp[5]=dp[3]+1=2;

最后再for一遍找max，总o（log n）

这道题因为比较特殊，数字不重复，且按序插入，所以直接以数字本身作为下标。

求最长上升子序列还可以用树状数组优化，哪天再遇到这样的题再复习树状数组优化吧！

代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std ;

const int N=100000+5;

int n,x;

struct Node{

    Node *ch[2];

    int v,r,siz;

    int cmp(int x){

        return x <= ch[0]->siz ? 0 : 1;

    }

}*root,*null,pool[N],*tail=pool;

int c[N],top=0,dp[N];

Node *newnode(){

    Node *rt=++tail;

    rt->ch[0]=rt->ch[1]=null;

    rt->v=rt->r=rt->siz=0;

    return rt;

}

void rotate(Node *&nd,int d){

    Node *tp=nd->ch[d];

    nd->ch[d]=tp->ch[d^1];tp->ch[d^1]=nd;

    nd->siz=nd->ch[0]->siz+nd->ch[1]->siz+1;

    tp->siz=tp->ch[0]->siz+tp->ch[1]->siz+1;

    nd=tp;

}

void insert(Node *&nd,int val,int pos){

    if(nd==null){

        nd=newnode();

        nd->v=val;

        nd->siz=1;

        nd->r=rand();

        return ;

    }

    int d=nd->cmp(pos);

    insert(nd->ch[d],val,d ? pos - nd->ch[0]->siz - 1: pos );

    if(nd->ch[d]->r > nd->r ){

        rotate(nd,d);

    }

    nd->siz=nd->ch[0]->siz+nd->ch[1]->siz+1;

}

int get_dp(int x){

    int rt;

    if(x>c[top]){

        c[++top]=x;

        return dp[c[top-1]]+1;

    }

    int le=0,ri=top;

    while(le<ri){

        int mid=(le+ri)>>1;

        if(c[mid]>x) ri=mid;

        if(c[mid]<=x) le=mid+1;

    }

    c[le]=x;

    return dp[c[le-1]]+1;

}

void query(Node *nd){

    if(nd==null) return ;

    query(nd->ch[0]);

    dp[nd->v]=get_dp(nd->v);

    query(nd->ch[1]);

}

int main(){

    srand(23425546);

    null=++tail;

    null->ch[0]=null->ch[1]=null;

    null->v=null->r=null->siz=0;

    root=null;

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++){

        scanf("%d",&x);

        insert(root,i,x);

    }

    query(root);

    for(int i=1;i<=n;i++){

        dp[i]=max(dp[i-1],dp[i]);

        printf("%d\n",dp[i]);

    }

    return 0;

}

总结：

1、对题的辨析能力还需加强，要多想多观察，找到不被影响的东西