[bzoj2510]弱题 (循环矩阵优化dp)
2024-09-25 23:39:15
Description
有M个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为1~N且为整数,标号为i的球有ai个,并保证Σai = M。
每次操作等概率取出一个球(即取出每个球的概率均为1/M),若这个球标号为k(k < N),则将它重新标号为k + 1;若这个球标号为N,则将其重标号为1。(取出球后并不将其丢弃)
现在你需要求出,经过K次这样的操作后,每个标号的球的期望个数。
Input
第1行包含三个正整数N,M,K,表示了标号与球的个数以及操作次数。
第2行包含N个非负整数ai,表示初始标号为i的球有ai个。
Output
应包含N行,第i行为标号为i的球的期望个数,四舍五入保留3位小数。
Sample Input
2 3 2
3 0
3 0
Sample Output
1.667
1.333
1.333
HINT
【样例说明】
第1次操作后,由于标号为2球个数为0,所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球,有1个标号为2的球。
第2次操作后,有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球(此时标号为1的球有3个),有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球(此时标号为1的球有1个),所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1
= 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。
【数据规模与约定】
对于10%的数据,N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10;
对于20%的数据,N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20;
对于30%的数据,N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100;
对于40%的数据,M ≤ 1000, K ≤ 1000;
对于100%的数据,N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。
比较显然的一道期望dp 但是循环矩阵这个东西是真没见过
设$f[i][j]$表示第i次操作后标号为i的球的期望个数
易得
$f[i][j]=(1-\frac{1}{m})*f[i-1][j]+\frac{1}{m}*f[i-1][j-1]$
特判$f[i][1]=(1-\frac{1}{m})*f[i-1][1]+\frac{1}{m}*f[i-1][n]$
即目前状态要么是上次抽到该标号-1的球转移来的,要么是上次抽到与该标号无关的球转移来的
但是K的范围十分不友好 考虑优化
可以想到矩乘,但是$n^3log^k$显然也不可接受
把方程中的系数放到矩阵里,可以看出它是一个循环矩阵
循环矩阵间的乘法具有封闭性,所以只需保留一行
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,K;
struct matrix
{
double a[];
matrix()
{
memset(a,,sizeof(a));
}
}dp,num;
void debug()
{
puts(" ");
for(int i=;i<n;i++)
cout<<num.a[i]<<' ';
puts(" ");
}
matrix operator * (matrix x,matrix y)
{
matrix res;
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=;j<n;j++)
res.a[(i+j)%n]+=x.a[i]*y.a[j];
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
for(int i=;i<n;i++)
scanf("%lf",&dp.a[i]);
num.a[]=((double)(m-))/m;num.a[]=1.0/m;
while(K)
{
//debug();
if(K&)dp=dp*num;
num=num*num;
K>>=;
}
for(int i=;i<n;i++)
printf("%.3lf\n",dp.a[i]);
return ;
}
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