DP-直线分割递推
在 DP 里有一类是直线分割平面的问题 , 也是属于递推 类的 。
一 . 直线分割平面的问题
先考虑第一个小问题 :
n 条直线最多可以将平面分割成几部分 ?
想想 最优的分割方法是怎样的呢 ?
1 . 任意两条直线都不相交 。
2 . 没有三线共点的情况 。
// 但是若现在我们的直线有了互相平行的两条 , 结果则会在 最优的基础上减 1 , 若是有 3 条互相平行的直线 , 结果则会在最优的基础上 减 ( 2 + 1 ) = 3 条
考虑在前 n 条直线是最优的情况下 , 当插入第 n + 1 条直线时 , 最优的情况是这条直线会穿过 n + 1 个部分 , 则此时会在原基础上增加 n + 1 个部分 , 因为直线每穿过一部分 , 就会将它所在的平面一分为二 , 因此 , 在 n + 1 条直线时 , 总平面数是 f ( n ) + n + 1 .
因此 , n 条直线在最优的情况将平面 分为 L( n ) = ( n * ( n + 1 ) ) / 2 + 1 。
二 . V 型折线分割平面
思考 ... 是不是可以将 V 型线反向延长 ,得到两条相交的直线 ,此时演变成第一种问题的形式 , 当将其变成 V 型时 ,会使线的条数增加 1 倍 , 每变一个 V 型 , 会使平面的数目减少 2 , 则 n 个 V 型就会使其减少 2 * n 。
所以 , n 条 V 型折线 最多可以分出平面 V ( n )
三 . Z 型折线分割平面 ( 上下边是互相平行的 )
还是按照之前的方法 , 将每个顶点的直线反向延长 ,则 Z 型折现可视为 3 条直线相交 ,又因为每个 Z 型都有一组互相平行的直线 , 所以对于每个 Z 型 , 应在最优解上减 1 ,若再去掉反向延长线 , 每个 Z 型还会在最优的基础上 减 4 , 所以对于 每个Z 型应是在最优的基础上减 5
四 . M型折线分割平面 (两个角是平行的)
M 型 因为有一组平行线 , 所以每个 M 型折线的最优解 要 减 1 ,将M 的每个顶点的线反向延长 , 会得到 4 条相交的折线 , 若回归到M 型 ,则每个M型的折线会在最优的基础上 减少 8 , 所以对 每个 M 型的折线会减少 9 。
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