AGC033D Complexity

题意

给出一个$n*m$的$0,1$矩阵,若一个矩阵中的所有元素都相同,则这个矩阵的代价为$0$,如果不是则选择一种将它分成两个子矩阵的方案,代价为所有方案中（两个子矩阵的代价的较大值+$1$）的最小值。

$n,m \leq 185$

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思路

$dp[ i ][ j ][ k ][ l ]$ 表示左上角是 $( i , j ) $ 、右下角是 $ ( k , l ) $的矩阵的最小代价，四维扛不住。

因为如果每次从中间分，$log(n)+log(m)$次就变成$1*1$的格子，代价是 $0$，所以答案最多是$log(n)+log(m)$。

因此可以将值放进状态中，$dp[ i ][ j1 ][ j2 ][ k ] $表示左上角是 $( i , j1 )$、右上角是 $ ( i , j2 ) $ 、用$ k $的代价，往下最长能延伸到哪行。

转移的时候考虑横着切与竖着切。令$ d = dp[ i ][ j1 ][ j2 ][ k ]$ :

横着切：$ d = dp \space [ dp[ i ][ j1 ][ j2 ][ k-1 ] +1] \space [ j1 ][ j2 ][ k-1 ] $；
竖着切：$[ j1 , j3 ] 和 [ j3+1 , j2 ]$ 就是分出的两部分；

$dp[ i ][ j1 ][ j3 ][ k-1 ]$ 和 $dp[ i ][ j3+1 ][ j2 ][ k-1 ]$的最小值是答案，$d$为最小值中的最大值。至此我们得出了$O(m)$的暴力转移。

因为$dp$值明显随矩阵增大而减小，所以可二分$j3$。考虑二分找出最大的$min( dp[ i ][ j1 ][ j3 ][ k-1 ] , dp[ i ][ j3+1 ][ j2 ][ k-1 ] )$。（左比右大往左，反过来，总之越接近越好）

初始化出所有$k=0$的情况即可

#include <bits/stdc++.h>

const int N=190;

using std::max;

using std::min;

int n,m,a[N][N],sum[N][N],dp[N][N][N][15];

char c[N][N];

int main(){

	scanf("%d%d",&n,&m);

	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",c[i]+1);

	for(int i=1;i<=n;i++)

		for(int j=1;j<=m;j++){

			if (c[i][j]=='.') a[i][j]=1;

			else a[i][j]=0;

			sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];

		}

	for (int i=1;i<=n;i++)

		for (int j=1;j<=m;j++)

			for (int k=j;k<=m;k++){

				int l=i,r=n,ans=i-1;

				while (l<=r){

					int mid=(l+r)>>1;

					int s=sum[mid][k]-sum[mid][j-1]-sum[i-1][k]+sum[i-1][j-1];

					if (s==0 || s==(mid-i+1)*(k-j+1))

						ans=mid,l=mid+1;

					else r=mid-1;

				}

				dp[i][j][k][0]=ans;

			}

	int k=1;

	for (k=1;dp[1][1][m][k-1]<n;k++)

	for (int h=1;h<=m;h++)

		for (int i=1;i<=n;i++)

			for (int j1=1,j2=j1+h-1;j2<=m;j1++,j2++){

					if (dp[i][j1][j2][k-1]==n){

						dp[i][j1][j2][k]=n;

						continue;

					}

					dp[i][j1][j2][k]=dp[dp[i][j1][j2][k-1]+1][j1][j2][k-1];//横

					if(dp[i][j1][j2][k]==n) continue;

					int l=j1,r=j2-1,ans=0;//竖

					while (l<=r){

						int mid=(l+r)>>1;

						int x=dp[i][j1][mid][k-1],y=dp[i][mid+1][j2][k-1];

						ans=max(ans,min(x,y));

						if (x<y) r=mid-1;

						else l=mid+1;

					}

					dp[i][j1][j2][k]=max(dp[i][j1][j2][k],ans);

				}

	printf("%d\n",k-1);

}

巴特西

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