1 %矩阵的满秩分解

 clear

 %设输入矩阵为M（P152 例4.1.1）

 A = [1,4,-1,5,6;

     2,0,0,0,-14;

     -1,2,-4,0,1;

     2,6,-5,5,-7]

 A1 = rref(A);    %将矩阵A化成行最简形式保存在A1中

 [m,n]=size(A);    %获取矩阵A的大小：m行n列

 B0= [];%生成一个空向量

 C0= [];%生成一个空向量

 for i=1:m    %依次扫描矩阵m行

    flag=1;

    for j=1:n    %依次扫描矩阵n列

        if A1(i,j)==1    %若A1(i, j)等于1

            for k=1:i-1        %固定j列，扫描此列的第1行到i-1行元素

                if A1(k,j)~=0    %判断是否全为0

                    flag=0;    %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）

                    break;

                end

            end

            for k=i+1:m        %固定j列，扫描此列的第i+1行到m行（即最后一行）元素

                if A1(k,j)~=0    %判断是否全为0

                    flag=0;    %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）

                    break;

                end

            end

            if flag==1         %若flag为1（不为0），则说明此列是【矩阵的行最简形式矩阵】的单位矩阵的列

                B0=[B0,A(:,j)];    %将矩阵A的j列加到B0列向量之后

                C0=[C0;A1(i,:)];    %将矩阵A1的i行加到C0行向量之后，

            end

        end

    end

 end

 [m1,n1]=size(B0);    %获取矩阵B0的大小：m1行n1列

 [m2,n2]=size(C0);    %获取矩阵C0的大小：m2行n2列

 B=B0(:,1:n1)        %将矩阵B0的第1列到最后一列赋值给矩阵B

 C=C0(1:m2,:)        %将矩阵C0的第1行到最后一行赋值给矩阵C

 %验证：BC=A

 A_1= B*C

 %矩阵的正交三角分解

 clear;

 A = [-3,1,-2;1,1,1;1,-1,0;1,-1,1]

 [Q, R] = qr(A) %正交三角分解，Q为酉矩阵，R为正交下三角矩阵

 %验证:QR是否为A，以及Q是否为酉矩阵

 A_1 = Q * R

 Q_1 = Q * conj(Q.')

 %矩阵的奇异值分解

 clear,clc

 A = [1,1;0,0;1,1];

 [U,S,V] = svd(A) %返回一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足A= U*S*V~H。

                  %若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

 %验证A=USV~H

 A = [1,1;0,0;1,1]

 A_1 = U*S*conj(V.') 

 %矩阵的极分解

 clear,clc;

 A = [2,1,2;0,1,3;1,0,0];

 H1 = sqrtm(A*A') %返回矩阵的主要平方根

 U1 = inv(H1)*A %求逆

 A_1 = H1*U1

 H2 = sqrtm(A)

 U2 = A*inv(H2)

 A_2 = U2*H2

 %矩阵的谱分解

 clear,clc

 A = [4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1]; %单纯矩阵

 %A = [-2i,4,-2;-4,-3i,-3i;2,-2i,-5i]; %正规矩阵

 [V,D] = eig(A) %求特征值与特征向量

 %正交归一化

 V_C = orth(V) ;%特征向量正交化

 V_C_Z = V_C./repmat(sqrt(sum(V_C.^2,1)),size(V_C,1),1); %特征向量列归一化

 A_H = A * conj(A');%求A的共轭转置

 if A == A_H | A == -(A_H)  %判断是否是正规矩阵

     [m,n] = size(V_C_Z);

     G2 = zeros(m,n);

     for i=1:n

         G1 = V_C_Z(:,i) * conj(V_C_Z');

         G2 = G2 + D(i, i) * G1;

     end

     G_Z = G2

 else  %否则是单纯矩阵

     P_1 = (inv(V))';

     [m,n] = size(P_1);

     G3 = zeros(m,n);

     for i=1:n

         G4 = V(:,i) * (P_1(:,i))';

         G3 = G3 + D(i,i)* G4;

     end

     G_R = G3

 end